外置圆

任何三角形都有外置圆。三角形外心的位置在三角形的三条边的垂直平分线的交点上，到三个顶点的距离都相等（等于外置圆的半径），而且：

• 对于直角三角形，外心是斜边的中点，外置圆半径即斜边长度的一半。这是泰勒斯定理的形式之一。
• 对于钝角三角形：外心在三角形外，靠近最长边。
• 对于锐角三角形：外心在三角形内。

若以R表示三角形外置圆半径，那么根据正弦定理，${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$。 若以"S"表示三角形面积，由于${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin C}$，整理得到 ${\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}}$。

过三点圆的方程为${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0}$[1]，故三角形外心坐标为${\displaystyle ({\frac {\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\end{vmatrix}}{2{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}},{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\end{vmatrix}}{2{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}})}$

圆内接四边形对角互补，其面积A可以用婆罗摩笈多公式求得：${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$，其中a, b, c, d为四边的长度，s为半周长。

其外置圆半径为：${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}}{4A}}}$。

边长相等的四边形中，以圆内接四边形最大。

所有的正多边形都有外置圆，外置圆的圆心和正多边形的中心重合。边长为a的n边正多边形外置圆的半径为：

${\displaystyle R_{n}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{2}}\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

面积为：

${\displaystyle A_{n}=\pi R_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\csc ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

正n 边形的面积${\displaystyle S_{n}}$与其外置圆的面积${\displaystyle A_{n}}$之比为

${\displaystyle \rho _{n}={\frac {S_{n}}{A_{n}}}={\dfrac {{\frac {na^{2}}{4}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {\pi a^{2}}{4}}\csc ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {n}{\pi }}\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2\pi }}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

故此，当n趋向无穷时，

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2\pi }}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)=1}$

另外，其内切圆的面积${\displaystyle s_{n}}$与其外置圆的面积${\displaystyle A_{n}}$之比为:

${\displaystyle \tau _{n}={\frac {s_{n}}{A_{n}}}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}\cdot {\frac {S_{n}}{A_{n}}}=\varphi _{n}\rho _{n}=\left[{\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]\left[{\frac {n}{\pi }}\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

• 内切圆
• 旁切圆
• 九点圆
• 最小外置圆
• 外置球
• 塔里点