除以零

婆罗摩笈多（598–668年）的著作《婆罗摩历算书》被视为最早讨论零的数学和定义涉及零的算式的文本。但当中对除以零的论述并不正确，根据婆罗摩笈多所说，

830年，另一位数学家摩诃吠罗在其著作《Ganita Sara Samgraha》试图纠正婆罗摩笈多的错误，但不成功：

婆什迦罗第二尝试解决此问题，答案是让${\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }$。虽然此定义有一定道理，但会导致一个悖论：${\displaystyle 0\times \infty }$的结果可以是任意一个数，所以所有的数都是相同的。[1]

在微积分和数学分析中，像${\displaystyle 0\times \infty }$或${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$这一类极限称为不定型。不定型是可以计算的，结果可能是任意数。

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在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：${\displaystyle 2=1}$

式：

${\displaystyle 0a=0}$

试：

${\displaystyle a=1}$：正确

${\displaystyle a=2}$：正确

得出：

${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$

除以零得出

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\times 1=2}$

简化，得出：

${\displaystyle 1=2\,}$

以上谬论假设，某数除以0是容许的，并且${\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}$。

另一个简洁的证明

设${\displaystyle a=b}$，则 $${\displaystyle a^{2}=ab}$$ 两边同时减去${\displaystyle b^{2}}$，由平差公式得 $${\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)}$$ 两边除以${\displaystyle (a-b)}$， $${\displaystyle a+b=b}$$ 故${\displaystyle a=0}$。

通过上面的过程，证明了一切数字等于${\displaystyle 0}$。此谬论是由于简化的过程不正确，计算过程使用了「除以零」。

因为${\displaystyle (a-b)}$是零，所以不能够把左右两边的${\displaystyle (a-b)}$删去。

在矩阵代数或线性代数中，可定义一种虚假的除法，设${\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}$，当中${\displaystyle b^{+}}$代表${\displaystyle b}$的虚构倒数。这样，若${\displaystyle b^{-}}$存在，则${\displaystyle b^{+}=b^{-}}$。若${\displaystyle b=0}$，则${\displaystyle 0^{+}=0}$；参见广义逆。

表面看来，可以借着考虑随着${\displaystyle b}$趋向${\displaystyle 0}$的${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$来定义「除以零」。

对于任何正数${\displaystyle a}$，右极限是

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }$

另一方面，左极限是

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }$

由于左极限及右极限不相同，因此函数在${\displaystyle x=0}$的极限不存在，该点没有定义。同样地，若${\displaystyle a}$是负数，极限也不存在。

如果分子及分母均为零或趋向零，则可使用洛必达法则计算。

不定型（Indeterminate Form）的极限可通过四则运算或洛必达法则计算。

考虑函数${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}$

如果直接代入${\displaystyle x=3}$，会得到零除以零，这是没有意义的。

${\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}$

但通过约简分子及分母，该点的极限是可以计算的。

${\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6}$

此外，函数的极限可通过洛必达法则计算。

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

若随着${\displaystyle x}$趋向${\displaystyle 0}$，${\displaystyle f(x)}$与${\displaystyle g(x)}$均趋向${\displaystyle 0}$，该极限可等于任何实数或无限，或者根本不存在，视乎${\displaystyle f}$及${\displaystyle g}$是何函数。

运用形式推算，正号、负号或没有正负号因情况而定，除以零定义为：

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}$

集合${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$为黎曼球（），在复分析中相当重要。