算符

在物理学领域里，算符（operator）亦称算子、操作符[1]，有别于数学的算子，其作用于物理系统的状态空间，使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂，需要用很多方程序来表明，假若能够使用算符来代表，可以更为简单扼要地表达论述。

对于很多案例，假若作用的对象有所迥异，算符的物理行为也会不同；但是，对于有些案例，算符的物理行为具有一般性，这时，就可以将论题抽象化，专注于研究算符的物理行为，不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性或守恒定律的论题。因此，在经典力学里，算符是很有用的工具。在量子力学里，算符为理论表述不可或缺的要素。

对于更深奥的理论研究，可能会遇到很艰难的数学问题，算符理论（operator theory）能够提供高功能的架构，使得数学推导更为简洁精致、易读易懂，更能展现出内中物理涵意。

一般而言，在经典力学里的算符大多作用于函数，这些函数的参数为各种各样的物理量，算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为「函数算符」。在量子力学里的算符称为「量子算符」，作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。

经典力学

在经典力学里，粒子（或一群粒子）的动力行为是由拉格朗日量 ${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)$ 或哈密顿量 ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$ 决定；其中， $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{n})$ 、 ${\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},{\dot {q_{3}}},\dots ,{\dot {q}}_{n})$ 分别是广义坐标、广义速度， $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n})={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}$ 是共轭动量， $t$ 是时间。

假设拉格朗日量 ${\mathcal {L}}$ 或哈密顿量 ${\mathcal {H}}$ 与某广义坐标 $q_{i}$ 无关，则当 $q_{i}$ 有所改变时， ${\mathcal {L}}$ 或 ${\mathcal {H}}$ 仍旧会保持不变，这意味着粒子的动力行为也会保持不变，对应于 $q_{i}$ 的共轭动量 $p_{i}$ 守恒。对于广义坐标 $q_{i}$ 的改变，动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里，当研读有关对称性的课题时，算符是很有用的工具。

特别而言，假设对于某种群 $G$ 的变换运算，物理系统的哈密顿量是个不变量；也就是说，假设 $S\in G$ ，

S{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ',\ \mathbf {p} ')={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )

。

在这案例里，所有 $G$ 的元素 $S$ 都是物理算符，能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态；尽管 $S$ 作用于这物理系统，哈密顿量守恒不变。

举一个关于平移于空间的简单例子。「平移算符」 $T_{a}$ 能够将粒子从坐标为 $q_{i}$ 移动至坐标为 $q_{i}+a$ ，以方程序表示：

T_{a}f(q_{i})=f(q_{i}-a)

；

其中， $f(q_{i})$ 是描述一群粒子的密度函数。

给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统，则尽管 $T_{a}$ 的作用，这物理系统的哈密顿量 ${\mathcal {H}}$ 是个不变量，对应于坐标 $q_{i}$ 的动量 $p_{i}$ 守恒。

经典力学算符表格

算符	标记	位置	动量
平移算符	$T(\mathbf {\Delta \mathbf {r} } )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
时间演化算符	$U(\Delta t)$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+\Delta t)$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+\Delta t)$
旋转算符	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
伽利略变换算符	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
宇称算符	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
时间反演算符	$\Theta$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

$R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )$ 是旋转矩阵， ${\hat {\mathbf {n} }}$ 是旋转轴矢量， $\theta$ 是旋转角弧。

生成元概念

对于一个微小的平移变换，猜测平移算符的形式为

T_{\epsilon }\approx I+\epsilon A

；

其中， $I$ 是「单位算符」──变换群的单比特， $\epsilon$ 是微小参数， $A$ 是专门用来设置平移变换群的生成元。

为了简化论述，只考虑一维案例，推导平移于一维空间的生成元。将平移算符 $T_{\epsilon }$ 作用于函数 $f(x)$ ：

T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )

。

由于 $\epsilon$ 很微小，可以泰勒近似 $f(x-\epsilon )$ 为

T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)

。

重写平移算符的方程序为

T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon \mathrm {D} )f(x)

；

其中，导数算符 $\mathrm {D} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ 是平移群的生成元。

总结，平移群的生成元是导数算符。

指数映射

在正常状况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做 $N$ 次微小平移变换 $T_{a/N}$ ，来代替一个有限值为 $a$ 的平移变换 $T_{a}$ ：

T_{a}f(x)=T_{a/N}\cdots T_{a/N}\ f(x)

。

现在，让 $N$ 变得无穷大，则因子 $a/N$ 趋于无穷小：

T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)=\lim _{N\to \infty }(I-(a/N)\mathrm {D} )^{N}f(x)

。

这表达式的极限为指数函数：

T_{a}f(x)=e^{-a\mathrm {D} }f(x)

。

核对这结果的正确性，将指数函数泰勒展开为幂级数：

T_{a}f(x)=\left(I-a\mathrm {D} +{a^{2}\mathrm {D} ^{2} \over 2!}-{a^{3}\mathrm {D} ^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x)

。

这方程序的右手边可以重写为

f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots

。

这正是 $f(x-a)$ 的泰勒级数，也是 $T_{a}f(x)$ 的原本表达式结果。

物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容，请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力学

在量子力学里，算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述创建于算符的概念。量子系统的量子态可以用态矢量设置，态矢量是矢量空间的单位范数矢量。在矢量空间内，量子算符作用于量子态，使它变换成另一个量子态。由于物体的态矢量范数应该保持不变，量子算符必须是厄米算符。假若变换前的量子态与变换后的量子态，除了乘法数值以外，两个量子态相同，则称此量子态为本征态，称此乘法数值为本征值。[2]^:11-12

物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量，都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释，每一次测量的结果只能是其中的一个本征值，而且，测得这本征值的机会呈几率性，量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。[3]^:106-109

量子算符

假设，物理量 $O$ 是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符 ${\hat {O}}$ 可能有很多不同的本征值 $O_{i}$ 与对应的本征态 $|e_{i}\rangle$ ，这些本征态 $|e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ ，形成了具有正交归一性的基底：[3]^:96-99

\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}

；

其中， $\delta _{ij}$ 是克罗内克函数。

假设，某量子系统的量子态为

|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle

；

其中， $c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle$ 是复系数，是在 $|e_{i}\rangle$ 里找到 $|\psi \rangle$ 的几率幅。[2]^:50

测量这动作将量子态 $|\psi \rangle$ 改变为本征态 $|e_{i}\rangle$ 的几率为 $p_{i}=|c_{i}|^{2}$ ，测量结果是本征值 $O_{i}$ 的几率也为 $p_{i}$ 。

期望值

在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。

采用狄拉克标记，对于量子系统的量子态 $|\psi \rangle$ ，可观察量 $O$ 的期望值 $\langle O\rangle$ 定义为[2]^:24-25

\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle

；

其中， ${\hat {O}}$ 是对应于可观察量 $O$ 的算符。

将算符 ${\hat {O}}$ 作用于量子态 $|\psi \rangle$ ，会形成新量子态 $|\phi \rangle$ ：

|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle

。

从左边乘以量子态 $\langle \psi |$ ，经过一番运算，可以得到

\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}

。

所以，每一个本征值与其几率的乘积，所有乘积的代数和，就是可观察量 $O$ 的期望值：

\langle O\rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}

。

将上述定义式加以推广，就可以用来计算任意函数 $F(O)$ 的期望值：

\langle F(O)\rangle =\langle \psi |F({\hat {O}})|\psi \rangle

。

例如， $F({\hat {O}})$ 可以是 ${\hat {O}}^{2}$ ，即重复施加算符 ${\hat {O}}$ 两次：

\langle O^{2}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {O}}^{2}\vert \psi \rangle

。

对易算符

假设两种可观察量 $A$ 、 $B$ 的算符分别为 ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ ，它们的对易算符定义为

[{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}

。

对易算符是由两种算符组合而成的复合算符，当作用于量子态 $|\psi \rangle$ 时，会给出

[{\hat {A}},{\hat {B}}]|\psi \rangle ={\hat {A}}{\hat {B}}|\psi \rangle -{\hat {B}}{\hat {A}}|\psi \rangle

。

假设 $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$ ，则称这两种可观察量为「兼容可观察量」，否则， $[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$ ，称这两种可观察量为「不兼容可观察量」。

假设两种可观察量为不兼容可观察量，则由于不确定原理，绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题，不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验，装备足够优良的测量仪器，则对于某些量子系统，测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。[4]

厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实值，因此，可观察量 $O$ 的期望值是实值：

\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}

。

对于任意量子态 $|\psi \rangle$ ，这关系都成立：

\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}

。

根据伴随算符的定义，假设 ${\hat {O}}^{\dagger }$ 是 ${\hat {O}}$ 的伴随算符，则 $\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle$ 。因此，

{\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }

。

这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。[3]^:96-99

矩阵力学

应用基底的完备性，添加单位算符 ${\hat {I}}=\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|$ 于算符 ${\hat {O}}$ 的两旁，可以得到[2]^:20-23

{\hat {O}}=\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|=\sum _{ij}O_{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{j}|

；

其中， $O_{ij}=\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle$ 是求和式内每一个项目的系数。

所以，量子算符可以用矩阵形式来代表：

{\hat {O}}\ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}

。

算符 ${\hat {O}}$ 与它的伴随算符 ${\hat {O}}^{\dagger }$ 彼此之间的关系为

\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle =\langle e_{j}|{\hat {O}}^{\dagger }|e_{i}\rangle ^{*}

。

所以，分别代表这两个算符的两个矩阵，彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符，代表的矩阵是个实值的对称矩阵。

用矩阵代数来计算算符 ${\hat {O}}$ 怎样作用于量子态 $|\psi \rangle$ ，假设系统因此变换为量子态 $|\phi \rangle$ ：

|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle

。

从左边乘以本征态 $\langle e_{i}|$ ，应用基底的完备性，添加单位算符 ${\hat {I}}$ 于算符的右边，可以得到

\langle e_{i}|\phi \rangle =\langle e_{i}|{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{j}\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle =\sum _{ij}O_{ij}\langle e_{j}|\psi \rangle

。

右矢 $|\phi \rangle$ 、 $|\psi \rangle$ 分别用竖矩阵来代表

|\phi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}

、　　　　

|\psi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}

。

两个竖矩阵彼此之间的关系为

{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}

。

假设算符 ${\hat {O}}$ 是厄米算符，则其所有本征态都相互正交。[5]以矩阵来代表算符，可以计算出一组本征值与对应的本征态，每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质，可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式，就可以找到本征值 $\lambda$ ：

\det \left({\hat {O}}-\lambda {\hat {I}}\right)=0

。

量子算符表格

在这表格里，算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间，则表示出的方程序会不一样。在英文本母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符，不是单位矢量。

算符名称	直角坐标系分量表示	矢量表示
位置算符	${\begin{aligned}{\hat {x}}=x\\{\hat {y}}=y\\{\hat {z}}=z\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r}$
动量算符	一般状况 ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\\{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\\{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}$	一般状况 $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$
动量算符	电磁场 ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$	电磁场（ $\mathbf {A}$ 是磁矢量势） $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$
动能算符	平移运动 ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$	平移运动 ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\hat {T}}_{x}+{\hat {T}}_{y}+{\hat {T}}_{z}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\\\end{aligned}}$
	电磁场 ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}$	电磁场（ $\mathbf {A}$ 是磁矢量势） ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}$
	旋转运动（ $I$ 是转动惯量） ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}$	旋转运动 ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}$
势能算符	N/A	${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)$
总能量算符	N/A	含时位势： ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$ 不含时位势： ${\hat {E}}=E$
哈密顿算符	N/A	${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}$
角动量算符	${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {L}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla$
自旋算符	${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ 其中， $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ 是自旋1/2粒子的包立矩阵。	$\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}$ 其中，矢量 ${\boldsymbol {\sigma }}$ 的分量是包立矩阵。
总角动量算符	${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}$
跃迁矩（电）（transition moment）	${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=qx\\{\hat {d}}_{y}&=qy\\{\hat {d}}_{z}&=qz\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {r}$

位置算符

只思考一维问题，将位置算符 ${\hat {x}}$ 施加于位置本征态 $|x\rangle$ ，可以得到本征值 $x$ ，即粒子的位置：[6]^:220-221

{\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle

。

由于位置基底具有完整性， ${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$ ，任意量子态 $|\psi \rangle$ 可以按着位置本征态形成的基底展开：

|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x

。

将位置算符 ${\hat {x}}$ 施加于量子态 $|\psi \rangle$ ，由于算符 ${\hat {x}}$ 只作用于右矢 $|x\rangle$ ，与其它数学个体无关，可以移入积分式内：

{\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\hat {x}}|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ x|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x

。

左矢 $\langle \psi |$ 与这方程序的内积为

\langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ x\langle \psi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x

。

设置量子态 $|\alpha \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$ 。由于位置基底具有完整性， ${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$ ，量子态 $\langle \psi |$ 与 $|\alpha \rangle$ 的内积，可以按着位置本征态形成的基底展开为

\langle \psi |\alpha \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|\alpha \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle \mathrm {d} x

。

将这两个积分式加以比较，立刻可以辨识出全等式

\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =x\langle x|\psi \rangle

。

设置量子态 $|\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$ 。量子态 $|\Psi \rangle$ 、 $|\psi \rangle$ 的位置空间表现，即波函数，分别定义为

\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle

、

\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle

。

两个波函数 $\Psi (x)$ 、 $\psi (x)$ 之间的关系为

\Psi (x)=x\psi (x)

。

总结，位置算符 ${\hat {x}}$ 作用于量子态 $|\psi \rangle$ 的结果 $|\Psi \rangle$ ，表现于位置空间，等价于波函数 $\psi (x)$ 与 $x$ 的乘积 $\Psi (x)$ 。

动量算符

表现于位置空间，一维动量算符为

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

。

将动量算符 ${\hat {p}}$ 施加于量子态 $|\psi \rangle$ ，可以得到类似前一节得到的结果：

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle

。

应用位置基底所具有的完整性，对于任意量子态 $|\phi \rangle$ ，可以得到更广义的结果：

{\begin{aligned}\langle \phi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}

；

其中， $\phi (x)=\langle x|\phi \rangle$ 、 $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$ 分别是量子态 $|\phi \rangle$ 、 $|\psi \rangle$ 表现于位置空间的波函数。

假设 $|\psi \rangle$ 是 ${\hat {p}}$ 的本征态，本征值为 $p$ ，则可得到

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle x|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle

。

将 $|\psi \rangle$ 改写为本征值为 $p$ 的本征态 $|p\rangle$ ，方程序改写为

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle

。

这微分方程序的解析解为

\langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ipx/\hbar }

。

所以，动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛丁格方程序，就可以推导求得这出结果。[2]^:50-54

参阅

有界算符
表示论
算子

参考文献

Kittel charles着,洪连辉等译，固态物理学导论，第681页。
Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
Griffiths, David J., , Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
Ballentine, L. E., , Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358
Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修, , 台湾: 天下文化书: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2

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[1] Kittel charles着,洪连辉等译，固态物理学导论，第681页。

[Sakurai-2] Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914

[Griffiths2004-3] Griffiths, David J., , Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7

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