平面波

在时间等于零时，正相移导致波向左移位。

随着t增加，波向右移动，给定点x处的值振荡正弦波。

3D平面波的动画。 每种颜色表示波的不同的相位。

用数学来表述，波动方程序为

${\displaystyle \nabla ^{2}f-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ 是描述波动的函数，${\displaystyle \nabla ^{2}}$ 是拉普拉斯算符，${\displaystyle v}$ 是波动传播的速度，${\displaystyle \mathbf {x} }$ 是位置，${\displaystyle t}$ 是时间。

描述平面波的函数 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)}$ 是波动方程序的一种解答：

${\displaystyle \nabla ^{2}{\tilde {\psi }}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\psi }}}{\partial t^{2}}}=0}$ 。

平面波 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)}$ 的形式为：

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)={\tilde {A}}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$ ；

其中，${\displaystyle i}$ 是虚数单位，${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是波矢量，${\displaystyle \omega =kv}$ 是角频率，${\displaystyle {\tilde {A}}}$ 是复值的振幅纯量。

取复函数的实部，则可以得到其物理意义。

${\displaystyle \operatorname {Re} \{{\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)\}=|{\tilde {A}}|\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t+\arg {\tilde {A}})}$ 。

注意到在任意时刻 ${\displaystyle t=t_{0}}$ ，波相位不变的曲面满足方程序

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t_{0}+\arg {\tilde {A}}=c_{1}}$ ，

或者，

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} =c_{2}}$ ；

其中，${\displaystyle c_{1}}$ 、${\displaystyle c_{2}}$ 是任意常数。

所有满足这方程序的 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 形成一个与 ${\displaystyle \mathbf {k} }$ 相互垂直的平面，平行波的波前就是这种平面，所有的波前都与 ${\displaystyle \mathbf {k} }$ 相互垂直，都相互平行。

对于矢量的波动方程序，像描述在弹性固体内的机械波或电磁波的波动方程序：

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0}$ ，

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是电场，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 是磁场;

解答也很类似：

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\psi }}}(\mathbf {x} ,\ t)={\tilde {\mathbf {A} }}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$ ；

其中，${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$ 是复值的振幅矢量。

横波的振幅矢量垂直于波矢量，像传播于均向性介质的电磁波。纵波的振幅矢量平行于波矢量，像传播于气体或液体的声波。

传播于某介质内，角频率与波矢量之间的关系，可以以函数 ${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )}$ 表达，称为介质的色散关系。对于这介质，波的相速度是

${\displaystyle v_{p}=\omega /k}$ ，

群速度是

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}}$ 。

• 波动方程