欠四面十二面體

在自身對偶形式中，欠四面十二面體是302404種自身對偶的十六面體中，1476種至少具有2階對稱性中唯一具有四面體對稱性的立體。[4]

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  自身對偶形式的欠四面十二面體
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  自身對偶形式的欠四面十二面體的3D模型
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  自身對偶形式的欠四面十二面體的展開圖

在欠缺四個頂角的正十二面體形式中，其移除了4個正十二面體的頂角，並將相鄰的五邊形面切割成梯形。[3]這種形式的欠四面十二面體有兩種二面角，分別為梯形和梯形的二面角，以及梯形和三角形的二面角。其中，梯形和梯形的二面角為：[5]

${\displaystyle \arccos {-{\frac {1}{\sqrt {5}}}}\approx 116.565051^{\circ }}$

而梯形和三角形的二面角為：

${\displaystyle \arccos {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\approx 142.622632^{\circ }}$

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  欠缺四個頂角的正十二面體
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  欠缺四個頂角的正十二面體的3D模型
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  欠缺四個頂角的正十二面體的展開圖

在星形化正二十面體形式中，其是32種以四面提群對稱性定義的星形化正二十面體之一，並具有鳶形面。[6]這種欠四面十二面體是五複合四面體中，少一個四面體之幾何結構的星狀核[7]。在康威多面體表示法中，其可以用pT來表示，代表通過喬治·W·哈特的螺旋變換（propeller operator）的正四面體。[8]

假設中交球的半徑为1，則存在一个邊長比為0.849:1.057的典型形式，其鳶形面保持等腰。

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  星形化正二十面體形式
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  星形化正二十面體形式的3D模型
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  星形化正二十面體形式的展開圖

欠四面十二面體具有手性四面體群對稱性，因此其可以構造自四個面星形化的五角十二面體群對稱性之扭稜四面體[2]或構造自欠缺4個頂點的五角十二面體。

自身對偶形式的欠四面十二面體頂點座標為：[9]

${\displaystyle \left(C_{1},\,\pm C_{0},\,\pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(-C_{1},\,\mp C_{0},\,\pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(1,\,\pm C_{1},\,\pm C_{0}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,\,\mp C_{1},\,\pm C_{0}\right)}$

${\displaystyle \left(C_{0},\,\pm 1,\,\pm C_{1}\right)}$

${\displaystyle \left(-C_{0},\,\mp 1,\,\pm C_{1}\right)}$

${\displaystyle \left(C_{2},\,\mp C_{2},\,\pm C_{2}\right)}$

${\displaystyle \left(-C_{2},\,\pm C_{2},\,\pm C_{2}\right)}$

其中：

${\displaystyle C_{0}={\frac {{\sqrt[{3}]{4\left(11+3{\sqrt {69}}\right)}}-{\sqrt[{3}]{4\left(3{\sqrt {69}}-11\right)}}-1}{3}}}$

≈0.139680581996

${\displaystyle C_{1}={\frac {{\sqrt[{3}]{4\left(25+3{\sqrt {69}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{4\left(25-3{\sqrt {69}}\right)}}-5}{3}}}$

≈0.509755332493

${\displaystyle C_{2}={\frac {{\sqrt[{3}]{4\left(371+33{\sqrt {69}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{4\left(371-33{\sqrt {69}}\right)}}-1}{33}}}$

≈0.606267870861