杠杆

1824年，在伦敦发行的《机械杂志》内的一副刻画。阿基米德说：「给我一个支点，我就可以撬起整个地球。」

早在旧石器时代晚期，古人就知道使用杠杆的原理来制作投枪器。 [2] 考古学者认为，在古埃及4500多年前的金字塔时期，工人使用杠杆来移动、擡举重量超过100英吨的方尖碑。[3] 中国战国时期，墨子在所著作的《墨子》一书中，提到应用杠杆的概念。[注 1][4][5]

大约在西元前330年，亚里斯多德在著作《机械问题》（《Mechanical Problems》）里，对于杠杆有详细的论述，并且基本而言使用虚功的现代概念推导出杠杆原理。[6]西元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在著作《论平面图形的平衡》里用几何方法推导出杠杆原理，[7]并且宣称：「给我一个支点，我就可以撬动整个地球。」[注 2][8]

静力平衡的杠杆。

由于杠杆内部有一点为固定点，杠杆只能绕着这固定点做旋转运动。相对于这一点，杠杆不能做平移运动。

• 杠杆内部的固定点称为「支点」。
• 使杠杆旋转的力 ${\displaystyle F_{1}}$ 叫做「施力」，是输入力。
• 施力作用于杠杆的位置叫做「施力点」。
• 阻碍杠杆旋转的力 ${\displaystyle F_{2}}$ 叫做「抗力」，是输出力。
• 抗力作用于杠杆的位置叫做「抗力点」。
• 从支点到施力作用线的垂直距离 ${\displaystyle D_{1}}$ 叫做「施力臂」。
• 从支点到抗力作用线的垂直距离 ${\displaystyle D_{2}}$ 叫做「抗力臂」。

理想杠杆不会耗散或保存能量，也就是说，支点与硬棒之间不会出现任何摩擦损耗，硬棒是一种刚体，不会被弯曲，发生形变。注意到硬棒不一定是直棒。弯曲的硬棒形成的杠杆称为「曲杠杆」。对于理想杠杆案例，输入杠杆的功率等于杠杆输出的功率。输出力与输入力之间的比率，等于这两个作用力分别与支点之间垂直距离的反比率，称这相等式为「杠杆原理」，以方程序表达：

${\displaystyle F_{2}:F_{1}=D_{1}:D_{2}}$ ，

或者，

${\displaystyle F_{1}D_{1}=F_{2}D_{2}}$ 。

定义力矩 ${\displaystyle M}$ 为

${\displaystyle M\ {\stackrel {def}{=}}\ FD}$ ；

其中，${\displaystyle F}$ 是作用力，${\displaystyle D}$ 是作用力与支点之间的垂直距离。

则输入力矩等于输出力矩：

${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ 。

杠杆原理表明，当静力平衡时，施力乘以施力臂等于抗力乘以抗力臂：

${\displaystyle F_{1}D_{1}=F_{2}D_{2}}$ 。

靠着比较施力臂、抗力臂的长度，可以将杠杆分为三类：

• 施力臂长于抗力臂的杠杆是「省力杠杆」，这可以省力。开瓶器、撬棍等均为省力杠杆。
• 抗力臂长于施力臂的是「费力杠杆」，这可以省时。大部分剪刀、镊子、筷子、钓鱼竿、火钳、笔等均为费力杠杆。
• 施力臂和抗力臂长度相等的杠杆是「等臂杠杆」，跷跷板、天秤等均为等臂杠杆。

另外一种分类法式依照施力点、抗力点、支点在杠杆的相对位置来分类。[9]

第一类杠杆

第一类杠杆的施力点、抗力点分别在支点的两边。例如，铁撬、跷跷板、天平、尖嘴钳。

第二类杠杆

第二类杠杆的施力点、支点分别在抗力点的两边。例如，独轮车、胡桃钳、开瓶器。这是一种省力杠杆，可以施加较小的力量来移动较重的物体，但是施力的位移较长.

第三类杠杆

第三类杠杆的抗力点、支点分别在施力点的两边。例如，镊子、钉书机、扫把。这是一种费力杠杆，可以节省施力的位移。

杠杆是可以绕着支点旋转的硬棒。当外力作用于杠杆内部任意位置时，杠杆的响应是其操作机制；假若外力的作用点是支点，则杠杆不会出现任何响应。

假设杠杆不会耗散或保存能量，则杠杆的输入功率必等于输出功率。当杠杆绕着支点呈匀角速度旋转运动时，离支点越远，则移动速度越快，离支点越近，则移动速度越慢，由于功率等于作用力乘以速度，离支点越远，则作用力越小，离支点越近，则作用力越大。

静力平衡的杠杆。

机械利益是抗力与施力之间的比率，或输出力与输入力之间的比率。假设施力臂 ${\displaystyle D_{1}}$ 、抗力臂 ${\displaystyle D_{2}}$ 分别为施力点、抗力点与支点之间的距离，施力 ${\displaystyle F_{1}}$ 、抗力 ${\displaystyle F_{2}}$ 分别作用于施力点、抗力点。则机械利益 ${\displaystyle MA}$ 为

${\displaystyle MA={\frac {F_{2}}{F_{1}}}={\frac {D_{1}}{D_{2}}}}$ 。

通常在学习杠杆的初级理论时，会聚焦于输入力和输出力由于虚位移而做的虚功。虚位移可以定义为物体的移动速度乘以虚时间。这样定义导致计算的物理量是功率，而不是功。这种方法有一个实在优点：在研究机械工程学或机构学时，功率是主要计算的物理量。使用这种方法来对杠杆做静力分析，就如同对于车子的传动系统，或机械手臂做静力分析，它们的机械利益的计算方式完全一样。

指甲剪是一种常用的复式杠杆。

复式杠杆是一组耦合在一起的杠杆，前一个杠杆的抗力会紧接地成为后一个杠杆的施力。几乎所有的磅秤都会应用到某种复式杠杆机制。其它常见例子包括指甲剪、钢琴键盘。1743年，英国伯明罕发明家约翰·外艾特在设计计重秤时，贡献出复式杠杆的点子。他设计的计重秤一共使用了四个杠杆来传输负载。[10]

• 连杆组
• 机构学
• 单摆

• 中国古代机械工程网页：杠杆 （页面存档备份，存于）。