功

1.保守力作功使「存」在物体中的位能释放出来，亦即保守力作功等于负的位能变化：

${\displaystyle W=-\Delta U}$

2.非保守力作功时，若有保守力作负功则优先化为位能，剩下的功才化为物体的动能，即非保守力作功等于总力学能（动能+位能）变化：

${\displaystyle W=\Delta E=\Delta E_{\rm {k}}+\Delta U}$

3.综合以上两点，一物体所受的合力包含了保守力与非保守力，非保守力使总力学能变，而保守力将之部份化为位能，二者相加，即合力作功等于动能变化：

${\displaystyle W=\Delta E_{\rm {k}}}$

根据这些公式证明功是与作用力相关的能量，所以作功是能被测量的，是一种具有物理单位的能量。

上面所讨论的作功、能量原理也适用于非机械能，例如电器和能源等，其原理是相同的。

转矩是从相等但方向相反的力作用于刚性体上两个不同的点所形成。这些力总和为零，但它会对物体影响形成转矩Τ，计算作功形成的转矩公式为：

${\displaystyle \delta W=\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}\delta t}$，其中T.ω是作用在时间点δt上。这些少量的功之和大于刚性体运动轨迹所产生的功。

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}dt}$，此积分是计算刚体沿轨迹运动与时间变化的角速度ω，可以说与运动的路径息息相关。

如果角速度矢量保持恒定的方向，那么可以写成：

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} }$，其中φ为转动角度，单位矢量S。在此情况下，功的转矩可写成：

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} d\phi }$，其中C是从φ（t₁）到φ（t₂）的运动轨迹。此积分取决于φ（t）的值，因此与路径相关。

如果转矩T与角速度矢量一致，那么可写成：

${\displaystyle \mathbf {T} =\tau \mathbf {S} }$

而且若转矩和角速度是恒定的，那么功可写成这个形式：

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1})}$。

A force of constant magnitude and perpendicular to the lever arm

此结果可以更简单的理解，如图所示。这股力将通过圆弧的距离s=rφ，所作的功即是：

${\displaystyle W=Fs=Fr\phi }$，导出转矩τ=Fr，得：

${\displaystyle W=Fr\phi =\tau \phi }$

以上，请注意只有转矩在角速度矢量方向的部分才有作功。

力与位移都是矢量。功是力与位移的内积，为标量。

${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}=Fd\cos \theta }$           （1）

其中${\displaystyle \theta }$是力矢量和位移矢量的夹角。

为使此式正确，力须为常矢量，路径须为一条直线。

如力随时间变化或路径不为直线，上式不再适用，此时需使用曲线积分。故功的一般公式为：

${\displaystyle W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}}$            （2）

其中

${\displaystyle \textstyle _{C}}$是路径

${\displaystyle {\vec {F}}}$是力矢量

${\displaystyle {\vec {x}}}$是位移矢量

表达式${\displaystyle \delta W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}$是一个非恰当微分，${\displaystyle \textstyle {W_{C}}}$与路径有关，求微分后不能得到${\displaystyle {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}}$。

非零力可以不作功，这一点与冲量不同。冲量是力对时间的累积。冲量是矢量，所以圆周运动时虽向心力不作功，但产生了对物体的非零冲量。

力矩所作功可由下式计算得到：

${\displaystyle W=\tau \theta \ }$

其中${\displaystyle \tau }$为力矩。

功与能的原理由牛顿第二运动定律推导，其中包括作用在质点上的合力和约束反力对质点造成的位移量。

对于匀变速直线运动的情形，推导如下式。

${\displaystyle W=Fd=mad=ma\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}\right)={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}}$，${\displaystyle d={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}$，${\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2ad}$

一般情况下的推导则如下式。

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,vdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,vdt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{dv \over dt}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})}$。