虚功

在此特别列出几个案例，展示出约束力所做的符合约束条件的虚功的总合是零：

• 刚体的约束条件是一种完整约束，以方程序表达，${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}}$；其中，刚体内部的质点${\displaystyle P_{i}}$、${\displaystyle P_{j}}$的位置分别为${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$、${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$，它们之间的距离${\displaystyle L_{ij}}$是个常数。所以，两个质点的虚位移${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}}$之间的关系为

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}$。

在这里，有两种可能的状况：

1、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}}$：

对于这状况，由于${\displaystyle \mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}}$，两个作用力所做的虚功相互抵销，也就是说，

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0}$，

所以，约束力所做的虚功的总合是零。

2、${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})}$ :

由于${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}$，

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}$。

所以，约束力所做的虚功的总合是零。

所以，在刚体内，质点与质点之间的约束力所作的虚功的总合是零。

• 思考置放于平滑地面上的一块木块。因为木块的重量，而产生的反作用力，是地面施加于木块的一种约束力。注意到对于这案例，符合约束条件的虚位移必须与地面平行，所以，地面施加的约束力垂直于虚位移，它所作的虚功等于零。[3]。

将一般的作用力和坐标分别变换为以广义力${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$和广义坐标${\displaystyle q_{i}}$表达，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}{\mathcal {F}}_{i}\delta q_{i}=0}$。

设置一个${\displaystyle N}$维位形空间，其坐标为${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$，其内中表示位置的点称为位形点。想像这物理系统移动于这位形空间。在这位形空间里，广义力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},\dots ,F_{N})}$垂直于符合约束条件的虚位移${\displaystyle \delta \mathbf {q} =(\delta q_{1},\delta q_{2},\dots ,\delta q_{N})}$。

假设，这物理系统没有任何约束条件，则虚位移可以是任意矢量。但是，广义力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$不可能垂直于${\displaystyle N}$维位形空间里的每一个矢量，所以，广义力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$必须等于零。

假设，这物理系统有${\displaystyle L}$个约束条件，则自由度为${\displaystyle N-L}$，位形点必需处于位形空间的某${\displaystyle N-L}$维子空间，而广义力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$必须垂直于这子空间，因此必需使用${\displaystyle N-L}$个运动方程序来表达这物理系统。

假设这系统是保守系统，则每一个广义力都是纯量的广义位势函数${\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$的对于其对应的广义坐标的负偏导数：

${\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}}$。

虚功与广义位势的关系为

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0}$。

由于位势的变分${\displaystyle \delta V}$等于零，一个静态平衡系统的位势${\displaystyle V}$乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设，要求这系统处于稳定状态，则位势${\displaystyle V}$必须是个局域极小值。