回文数

文数文數是指像14641这样“对称”的,即:将这数的位数反轉排列得到的「倒序數」[1]:94或「反序數」[1]:59和原数一样。这裡,“回文”是指像“妈妈爱我,我爱妈妈”这样,正读反读都相同的单词或句子。

回文数在休闲数学领域备受关注,典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数,如

巴克敏斯特·福乐的著作《协同学》()把回文数也叫做沙拉扎数(Scheherazade Numbers),沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。

任何進位制都有无限个回文数;101、1001、10001、…(一个1后接n个0再后接一个1)等各项在任何進制都是回文数,可组成有无限项的序列,这進制的回文数有无限(其中包括但不限于该序列中的无限项)。

正式定义

虽然通常考虑十进制回文数,但回文性质可延伸到任何记数系统自然数。以bb≥2)为的数nn>0)可按标准方式表示为k+1个,即

其中,如惯例,对所有i 都要求,且。则n称为回文数,当且仅当对所有i 都有在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。

另一种等价定义如下:在任何基b,当且仅当:

  • n是一位数,或
  • n为两位相同数字,或
  • n由三位或更多数字组成,其首位和末位数字相同,且从n中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文

的数n称为回文。

十进制

10基数中所有单位0123456789}都是回文数。

两位回文数有9个:

{11、22、33、44、55、66、77、88、99}

三位回文数有90个:

{101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999}

四位回文数也有90个:

{1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999}

小于104的回文数共199个,小于105的回文数有1099个,对其它的10的整数幂10n来说,分别有:1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…OEIS數列A070199个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数(其中包括将0也作为回文数):

101 102 103104 105 106107 108 1091010
n自然数10 19109199109919991099919999 109999199999
n偶数5 9498948988948898889 4888988889
n奇数5 10601106101110611011110 61110111110
n完全平方数 3613 1419
n素数4 5 20113 7815953
n因数中不含平方数的数 61267120675
n为可被某平方数整除的数(即μ(n)=0) 364178423
n为素数的平方数2 35
n有偶数个相异的素因子(即μ(n)=1) 263556324
n有奇数个相异的素因子(即μ(n)=-1) 573365352
n本身为偶数并有奇数个素因子
n本身为偶数并有奇数个相异的素因子 12921100
n本身为奇数并有奇数个素因子 011237204
n本身为奇数并有奇数个相异的素因子 00424139
n本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 12111598
n本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 142441226
n为奇数并有正好两个素因子 142539205
n为偶数并有正好两个素因子 231164
n为偶数并有正好三个素因子 131424122
n为偶数并有正好三个相异的素因子
n为奇数并有正好三个素因子 011234173
n卡迈克尔数 000001+
n为满足σ(n)是回文数的数 61047114688

其它基数

十进制以外的数系也有回文数,如二进制回文数有:

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…

以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…OEIS數列A006995梅森素数是二进制回文素数的子集。

某基数的回文数在另一基数通常不是回文数,像1646110=404D16(下标数字表示基数n16表示以十六进制写出的n)。然而,有些数字在几套進制都是回文数(称为“协回文”,copalindromic),如10510在五套不同進制都是回文数:12214=1518=7714=5520=3334;十进制数1991在十六进制为7C7,也是回文。

7的一些幂在18進制是回文:

  • 73= 111
  • 74= 777
  • 76= 12321
  • 79=1367631

任何数n在所有bn+1的基数b都是回文(这时n是单位数);在基为n-1时同样也是回文数(这时n就成了11n-1)。如果對於2≤bn-2,某数在基b都是非回文数,则称其是严格非回文数(Strictly non-palindromic number)。如6在二進制是110,三進制是20,四進制是12,都不是回文數,是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數,首幾項:1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… OEIS數列A016038

参见

參考文獻

  1. 徐连信. . 清华大学出版社. 2005.

外部链接

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