实函数

一个实函数的定义域未必总是明确写出。对任一定义域为 X 的实函数 f 和任一 X 的子集 Y，可定义 f 对 Y 的限制函数 f|_Y。其定义域为 Y 而对所有 Y 的元素，函数的取值维持不变。若 Y 是 X 的真子集，这两个函数理论上并不相同，但往往可将两者视为等同。

相反，有时函数的定义域可通过解析延拓或利用函数的连续性扩大。由此可见，明确指出实函数的未必有明显价值。

函数 f 的值域是指当 x 可取定义域内任何值时，f(x) 所有可能取值的集合。若 f 是连续实函数而其定义域是一个区间，那么它的值域也会是一个区间（除非 f 是常数函数，此时其值域将是一点）。

对任何实数 y，方程序 y=f(x) 所有实数解的集合称为 y 的原像。

实函数之间的运算可如下定义：

• 对任意实数 r 及实函数 f，可定义两者的积 ${\displaystyle rf:x\mapsto rf(x)}$。若 r 不等于 0，则此函数的定义域与 f 相同。
• 对任何两个实函数 f 和 g，可定义两者的和 ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$ 及积 ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$。两者的定义域均为 f 和 g 的定义域的交集。

由此，所有定义于全部实数和所有定义于某一特定区间的实函数分别组成 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的结合代数（也因此组成一个矢量空间），其中加法和乘法单比特分别为常数函数 ${\displaystyle 0_{f}:x\mapsto 0}$ 及 ${\displaystyle 1_{f}:x\mapsto 1}$。

虽然对任意实函数 f 可定义 ${\displaystyle 1/f:x\mapsto 1/f(x)}$，但由于此函数的定义域不包含所有使得 f(x)=0 的 x 值，它不一定等于 f 的定义域，所以上述代数结构不构成一个体。