局部环
在数学中,局部环是只有一个极大理想的交换环。
局部环的概念由 Wolfgang Krull 于1938年引入,称之为 Stellenringe,英译 local ring 源自扎里斯基。
定义
设 为交换含环。若 仅有一个极大理想 ,则称 (或 )为局部环。域 称为 的剩余域。
若 中仅有有限个极大理想,则称之为半局部环。
一个局部环 上带有一个自然的 -进拓扑,使得 成为拓扑环;其开集由 生成。当 为诺特环时,可证明 为豪斯多夫空间,且所有理想皆是闭理想。
设 为局部环,环同态 被称为局部同态,若且唯若 。
例子
动机与几何诠释
局部环意在描述一个点附近的函数「芽」。设 为拓扑空间, 或 ,且。考虑所有数据 ,其中 是 的一个开邻域,而 是连续函数。引入等价关系:
- 且 是 的开邻域。
换言之,若两个函数在 附近一致,则视之等同。上述等价类在逐点的加法及乘法下构成一个环 ,其元素称作在 的连续函数芽,它体现了连续函数在 附近的行为。若 满足 ,则存在一个 的开邻域 及连续函数 ,使得 且 恒非零,因此可定义乘法逆元 。于是 是局部环,其唯一的极大理想是所有在 点取零的函数,剩余域则是 。
类似想法可施于微分流形、解析流形或复流形,稍作修改后亦可推广至代数簇与概形。
在代数几何与复几何中,假设适当的有限性条件(例如凝聚性), 若一陈述对某一点的芽成立,则在该点的某个开邻域上皆成立;就此而论,局部环集中表现了一点附近的局部性质。
非交换的情形
一个含环 被称作局部环,若且唯若它满足下述等价条件:
- R 仅有一个极大左理想。
- R 仅有一个极大右理想。
- ,且任两个非可逆元的和仍为非可逆元。
- ,且对任何元素 , 或 必有一者可逆。
- ,若 中某个有限和是可逆元,则其中某项必可逆。
当上述任一性质成立,则下述三者等同:
- R 的唯一极大左理想
- R 的唯一极大右理想
- R 的 Jacobson根
对于交换环,上述定义化为交换局部环的原始定义。
文献
- V.I. Danilov, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- H. Matsumura, Commutative algebra (1970), ISBN 0-8053-7026-9
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