内切圆

任何三角形${\displaystyle ABC}$都有内切圆。这个内切圆的圆心称为内心，一般标记为I，是三角形内角平分线的交点[1]。在三线坐标，内心是1:1:1。

不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD有内切圆当且仅当两对对边之和相等：${\displaystyle AB+CD=AD+BC}$。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为： ${\displaystyle S_{ABCD}=rs}$，其中s 为半周长。

同时拥有内切圆和外置圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦，并过相应的顶点做切线，就能得到一个双心四边形。

正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外置圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为a 的正多边形的内切圆半径为：

${\displaystyle r_{n}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

其内切圆的面积为：

${\displaystyle s_{n}=\pi r_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

内切圆面积${\displaystyle s_{n}}$与正多边形的面积${\displaystyle S_{n}}$之比为：

${\displaystyle \varphi _{n}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}={\dfrac {{\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {na}{2}}\left[{\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]}}={\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

故此，当正多边形的边数${\displaystyle n}$趋向无穷时，

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)=1}$

• 旁切圆
• 外置圆
• 九点圆
• 内切球
• 鸡爪定理——三角形内心、旁心、顶点的位置关系
• 伪内切圆——与三角形两边及外置圆相切的圆