反演

反演是种几何变换。给定点${\displaystyle O}$、常数${\displaystyle k}$，点${\displaystyle P}$的变换对应点就是在以${\displaystyle O}$开始的射线${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$上的一点${\displaystyle P'}$使得${\displaystyle {\overline {OP}}\cdot {\overline {OP'}}=k^{2}}$。

一点的反演

过O圆的反演

圆的反演

反演的结果：

• 过${\displaystyle O}$的直线：直线
• 过${\displaystyle O}$的圆：不过${\displaystyle O}$的直线
• 不过${\displaystyle O}$的圆：圆
• 过${\displaystyle O}$的球：不过${\displaystyle O}$的平面

对于点${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$，以原点为中心，在直角坐标系的反演变换可写成

${\displaystyle x_{i}\rightarrow {\frac {k^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}}}$

以下都可视为反演：

• 立体投影法：可以取球面上任意一点为中心，球的直径为${\displaystyle k}$。
• 共轴圆：在平面取一系列共心圆，取一系列经过共心圆圆心的线，任意取一点为中心进行反演。