平方差

平方差可利用因式分解及分配律来验证：

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}&=a^{2}-0-b^{2}\\&=a^{2}-(ab-ba)-b^{2}\\&=a^{2}-ab+ba-b^{2}\\&=(a^{2}-ab)+(ba-b^{2})\\&=a(a-b)+b(a-b)\\&=(a-b)(a+b)\\\end{aligned}}}$

平方差能使用表格方式来验证。

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

x)已知	${\displaystyle a}$	${\displaystyle +b}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a^{2}}$	${\displaystyle +ab}$
${\displaystyle -b}$	${\displaystyle -ab}$	${\displaystyle -b^{2}}$

这样可验证出${\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}$

两个正方形和两个立方体之间差异的视觉证明

平方差可利用一个普通的平面图表验证出来。右图中，是正方形${\displaystyle a^{2}}$减去正方形${\displaystyle b^{2}}$，那即是${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$。利用平方差，计算出阴影部分的面积就是${\displaystyle (a+b)(a-b)}$。

根据右图，可先将阴影部分分割成三部分，分别为：

• ${\displaystyle b(a-b)\,\!}$
• ${\displaystyle (a-b)^{2}\,\!}$是灰正方
• ${\displaystyle b(a-b)\,\!}$

然后，将三部分加起：

${\displaystyle b(a-b)+(a-b)^{2}+b(a-b)\,\!}$

${\displaystyle =ab-b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+ab-b^{2}\,\!}$

${\displaystyle =ab+ab-2ab-b^{2}+b^{2}+a^{2}-b^{2}\,\!}$

${\displaystyle =a^{2}-b^{2}\,\!}$

• 注：${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$运用了差平方。

与方法一差不多，先将阴影部分分割为两部分，分别为：

• ${\displaystyle a(a-b)\,\!}$大长方
• ${\displaystyle b(a-b)\,\!}$小长方

然后，将两部分加起：

${\displaystyle a(a-b)+b(a-b)\,\!}$

${\displaystyle =a^{2}-ab+ab-b^{2}\,\!}$

${\displaystyle =a^{2}-b^{2}\,\!}$

${\displaystyle x^{2}-16\,\!}$

计算此公式，必须把两个数项都转为平方。并得：

${\displaystyle =x^{2}-4^{2}\,\!}$

${\displaystyle =(x-4)(x+4)\,\!}$

${\displaystyle 16m^{2}-81n^{2}\,\!}$

计算此公式，同样地把两个数项转为平方。并得：

${\displaystyle =(4m)^{2}-(9n)^{2}\,\!}$

${\displaystyle =(4m-9n)(4m+9n)\,\!}$

${\displaystyle 4y^{2}-36z^{2}\,\!}$

计算此公式，虽${\displaystyle 4y^{2}}$及${\displaystyle 36z^{2}}$的开方分别是${\displaystyle 2y}$及${\displaystyle 6z}$，但最好的方法是先抽出公因子，并得：

${\displaystyle =4(y^{2}-9z^{2})\,\!}$

同样地把两个数项转为平方，并得：

${\displaystyle =4\left[y^{2}-(3z)^{2}\right]\,\!}$

${\displaystyle =4(y-3z)(y+3z)\,\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {13}{x^{2}}}+36}$

首先，可将该两个分数转成正数，并得：

${\displaystyle =x^{-4}-13x^{-2}+36\,\!}$

${\displaystyle =(x^{-2})^{2}-13(x^{-2})+36\,\!}$

运用因式分解的方法得出：

${\displaystyle =x^{-2}\times x^{-2}-9(x^{-2})-4(x^{-2})+9\times 4}$

${\displaystyle =(x^{-2}-4)(x^{-2}-9)\,\!}$

然后，把所有可被开方的数目转为平方数，并得到：

${\displaystyle =\left[(x^{-1})^{2}-2^{2}\right]\left[(x^{-1})^{2}-3^{2}\right]}$

运用平方差并得出：

${\displaystyle =(x^{-1}-2)(x^{-1}+2)(x^{-1}-3)(x^{-1}+3)\,\!}$

或

${\displaystyle =\left({\frac {1}{x}}-2\right)\left({\frac {1}{x}}+2\right)\left({\frac {1}{x}}-3\right)\left({\frac {1}{x}}+3\right)\,\!}$

某些特别的整数相乘，能巧妙地使用平方差来计算，并可减省复杂的计算步骤。

例子一，两个数项都分别是${\displaystyle 10^{n}}$的${\displaystyle +x}$及${\displaystyle -x}$：

• ${\displaystyle 10\times 10=(10-0)(10+0)=10^{2}-0^{2}=100-0=100}$
• ${\displaystyle 7\times 13=(10-3)(10+3)=10^{2}-3^{2}=100-9=91}$
• ${\displaystyle 95\times 105=(100-5)(100+5)=100^{2}-5^{2}=10,000-25=9,975}$
• ${\displaystyle 99,994\times 100,006=(100,000-6)(100,000+6)=100,000^{2}-6^{2}=10,000,000,000-36=9,999,999,964}$

例子二：第一个数项减去第2个数项，都是${\displaystyle 10^{n}}$：

• ${\displaystyle 14^{2}-4^{2}=(14+4)(14-4)=18\times 10=180\,\!}$
• ${\displaystyle 125^{2}-25^{2}=(125+25)(125-25)=150\times 100=15,000\,\!}$
• ${\displaystyle 1,750^{2}-750^{2}=(1,750+750)(1,750-750)=2,500\times 1,000=25,000,000\,\!}$
• ${\displaystyle 14,205^{2}-4,205^{2}=(14,205+4,205)(14,205-4,205)=18,410\times 10,000=184,100,000\,\!}$

例子三：运用分配律、平方差来计出以下很大而覆杂的数项：

• ${\displaystyle 3263\times 3264\times \left({\frac {3264}{3263}}-{\frac {3265}{3264}}\right)}$

下一步先运用分配律：

${\displaystyle =3263\times 3264\times {\frac {3264}{3263}}-3263\times 3264\times {\frac {3265}{3264}}}$

并把所有相同数项约简，并得：

${\displaystyle =3264^{2}-3263\times 3265}$

运用平方差，并得：

${\displaystyle =3264^{2}-(3264-1)(3264+1)\,\!}$

${\displaystyle =3264^{2}-(3264^{2}-1^{2})\,\!}$

${\displaystyle =3264^{2}-3264^{2}+1\,\!}$

${\displaystyle =1\,\!}$

很多人混淆了平方差、差平方，除了文本上外，不少人都错误计算。

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}$	Y
${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)^{2}\,\!}$	N

• 注：${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$ ，详见差平方