七边形

正七边形的面积（A）可以利用其边长（a）来计算：

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}}$。

将正七边形的顶点与几何中心相连可以将正七边形分成七个扇三角形，这些三角形可再借由边心线将之一分为二。正七边形的边心距是${\displaystyle {\frac {\pi }{7}}}$正切值的一半，而这十四个小三角形的面积就会是四分之一倍的边心距。

其确切的代数式是三次方程${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1}$，其中的一个根为${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}}$[3]，在复数中表示为：

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}\left(35+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13-3{\sqrt {-3}})}}+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13+3{\sqrt {-3}})}}\right)}},}$

其中，复数中的虚数部最后会互相抵销使结果为实数。这个表达式不能被全部是实数的式子重写，也不能通过化简消去其虚数的部分。

正七边形的边数7是一个皮尔庞特质数但不是费马质数，因此不能用没有刻度的直尺和圆规来作图，但可以用一把有刻度的尺来作图。这种作图法称为纽西斯作图法，正七边形也可以用折纸作出或者用圆锥曲线作出。单用无刻度直尺和圆规不可能作出正七边形是因为，通过观察发现，${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\approx 1.247}$是不可约三次多项式${\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-2x-1\,}$一个零点。因此这个多项式是：${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}}$的最小多项式。

然而尺规作图仍可以作出近似的正七边形[4]。

从内角完成正七边形的二刻尺作图。	外置圆半径为${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$的正七边形二刻尺作图动画。此法根据安德鲁·马太·格里森[3]基于三等分角。
仅仅使用直尺和圆规，可以近似作出正七边形，误差大约为${\displaystyle \approx 0.2\%}$。设A为圆周上一点，作圆弧${\displaystyle BOC}$。那么${\displaystyle BD={1 \over 2}BC}$大约就是圆内接正七边形的边长。	另外一种正七边形的近似作图 ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMB = 51.42855809...° ; 360° ÷ 7 = 51.42857142...° ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMB - 360° ÷ 7 = -0.00001333...° (1 arcsec = 0.00027...°) 作图误差: 在外置圆半径r = 10 km时，第一条边的绝对误差大约是-2.1 mm.

正七边形的近似作图

下图显示了一个具有约0.2％误差的正七边形近似作图，近似值来自于${\displaystyle 2\sin {\frac {\pi }{7}}\approx {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$（即${\displaystyle 0.867\,767\cdots \approx 0.866\,025\cdots }$）。此法由阿尔布雷希特·丢勒提出[5]

若将一个七边形的边长以${\displaystyle \scriptstyle {S=3{\tfrac {2}{11}}}}$单位长绘制在圆半径为${\displaystyle \scriptstyle {R=3{\tfrac {2}{3}}}}$的外置圆上时，其绝对误差可以降低到0.00013%。

这种近似值来自于${\displaystyle \scriptstyle {{\tfrac {S}{R}}=\ 2\sin {\tfrac {\pi }{7}}\approx 1-\left({\tfrac {4}{11}}\right)^{2}}}$。这种正七边形画法误差十分小，即使绘制外置圆半径1公里大的正七边形误差也仅有1.1毫米。

正七边形的对称群。顶点的颜色是依照其对称特性绘制

正七边形具有14阶的Dih₇二面体对称，由于7是一个质数，因此其只有一个子群：Dih₁以及2个环形对称群：Z₇和Z₁。

若一正七边形边长为a、最短对角线为b、最长对角线为c，其满足等式${\displaystyle a<b<c}$ [6]^{:Lemma 1}

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ （倒数和等式）