子群

给定一个群${\displaystyle (G,*)}$，${\displaystyle H}$为${\displaystyle G}$的子集，则有${\displaystyle H}$为${\displaystyle G}$的子群若且唯若${\displaystyle \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$。

若${\displaystyle H}$为${\displaystyle G}$的子群可表示为${\displaystyle H\leq G}$，则以上表述可表示为:

${\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$

证明：

${\displaystyle (\Longrightarrow )}$：

因为${\displaystyle H\leq G}$，对于任意${\displaystyle h'\in H}$，${\displaystyle \exists h'^{-1}\in H}$，另有${\displaystyle h\in H}$，由于${\displaystyle H}$为一个群，所以${\displaystyle h*h'^{-1}\in H}$。

${\displaystyle (\Longleftarrow )}$：

假设${\displaystyle \exists x\in H}$，令${\displaystyle h=h'=x}$，可得${\displaystyle h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H}$，即${\displaystyle H}$存在单比特。

对于${\displaystyle x\in H}$，令${\displaystyle h=e_{G}}$，${\displaystyle h'=x}$，可得${\displaystyle h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H}$，即对于任意${\displaystyle x\in H}$，存在${\displaystyle x^{-1}\in H}$。

对于${\displaystyle x,y\in H}$，令${\displaystyle h=x}$，${\displaystyle h=y^{-1}}$，可得${\displaystyle h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H}$，即对于任意${\displaystyle x,y\in H}$，${\displaystyle x*y\in H}$。

因此${\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$成立。

• ${\displaystyle H\leq G}$ ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$${\displaystyle H\subseteq G}$且存在一个映射${\displaystyle \phi :H\to G}$,且对每个 ${\displaystyle a\in H}$ 有${\displaystyle \phi (a)=a}$。
• ${\displaystyle H\leq G}$ ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$${\displaystyle e_{H}=e_{G}}$,其中${\displaystyle e_{H},e_{G}}$为${\displaystyle H,G}$ 的单比特素。
• 若${\displaystyle H\leq G}$，则${\displaystyle a,b}$为会使得${\displaystyle ab=ba=e_{H}}$ 之 ${\displaystyle H}$ 中的元素，有${\displaystyle ab=ba=e_{G}}$。
• 若${\displaystyle H_{1}\leq G,H_{2}\leq G\Rightarrow H_{1}\cap H_{2}\leq G}$ .但${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$则不一定，例如2和3是在${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$与${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$的联集中，但其总和5则不是。
• 若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为<S>且称为由S产生的子群。G内的一个元素在<S>内若且唯若其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
• 群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数n之Z/nZ，则n会是最小个会使得aⁿ = e的正整数，且n被称为是a的「阶」。若<a>同构于Z，则a会被称有「无限阶」。
• 任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论联集「所产生」的子群。)若e为G的单比特素，则其当然群{e}会是群G的最小子群，而其最大子群则会是群G本身。

给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地，每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系a₁ ~ a₂若且唯若a₁⁻¹a₂会在H内。H的左陪集之数目称之为H在G内的「指数」，并标记为[G:H]。

拉格朗日定理叙述着对一个有限群G和一个子群H而言，

${\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}$

其中o(G)和o(H)分别为G和H的阶。特别地是，每一个G的子群的阶(和每一个G内元素的阶)都必须为o(G)的因数。 右陪集为相模拟之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于[G:H]。

若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

• 嘉当子群
• 费汀子群
• 稳定子群