cis函数

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$[1][12]

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$[1]

根据欧拉公式，cis函数有以下性质：

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}$[13]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}$

上述性质是当${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$都是复数时成立。在${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$都是实数时，有以下不等式：

${\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}$[13]

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta }$

cocis函数，正好跟cis上下颠倒，周期相同，但是位移了${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

就如同三角函数，我们可以令：${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta }$，其可用于诱导公式来化简某些特定的${\displaystyle \operatorname {cis} }$函数的式子。

至于指数定义，经过正弦和余弦的指数定义得:

${\displaystyle \operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}}$

有恒等式:

${\displaystyle \operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta }$

cish函数（${\displaystyle \cosh +i\sinh }$）在几何意义上与cis函数对应的双曲函数不同。在双曲几何中，与欧几里得几何对应cis函数应为：

${\displaystyle e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )}$

然而当中的${\displaystyle i}$若定义为负一的平方根，则其会变为[17]：

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )}$

双曲复数

在一般的情况下，cis函数对应的双曲函数定义域和值域皆为实数，但若定义双曲复数，考虑数${\displaystyle z=x+jy}$，其中${\displaystyle x,y}$是实数，而量${\displaystyle j}$不是实数，但${\displaystyle j^{2}}$是实数。选取${\displaystyle j^{2}=-1}$，得到一般复数。取${\displaystyle +1}$的话，便得到双曲复数。

而双曲复数有对应的欧拉公式:${\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$

其中j为双曲复数。

因此双曲cis函数得到的值为双曲复数，相反的若将其反函数带入模为一的双曲复数可得其辐角。

如此一来，值域将会变成分裂四元数。

cas函数是一个以类似cis函数的概念定义的一个函数，为雷夫·赫特利于1942提出，其定义为${\displaystyle \mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x}$，是一种实变量实值函数，而cas为「cosine-and-sine」的缩写，其表示了实数值的赫特利变换[18][19]：

${\displaystyle \mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x}$

cas函数存在一些恒等式：

${\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,}$

角和公式：

${\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,}$

微分：

${\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).}$