连杆机构

空间中三自由度的摇杆应用

杠杆应该是最简单的连杆，杠杆的枢纽位在支点上，支点是在固定点（或地面）上。若杠杆受力旋转，离支点较远的点速度会比离支点较近的点要快。输入旳功等于输出的功，因此在离支点较远的位置施较小的力，会等于在离支点较近的位置施较大的力。输出力和输入力的比例称为机械利益。

若二个杆件分别有一端有枢纽，分别固定在固定点上，二杆件的另一端连接到同一杆件的两端，此机构称为四杆机构，二个有枢纽，接到固定点的杆件称为曲柄，连接二曲柄的为结合杆（coupler）。

连杆是机器及工具中重要的零件，四连杆的例子有可以将力放大的断线钳、车辆中的悬吊系统、机器手臂以及行走机器人里面的复杂连杆机构。内燃机使用滑块—曲柄的四连杆，由活塞、连杆及曲轴组成，可以将气体膨胀及收缩产生的功转换为旋转的功。许多简单的连杆可以进行复杂的功能。

其他比较特殊的连杆例子有雨刷、自行车悬吊系统、行走机器人的腿形机构，以及重型动力机械的液压缸。在这些例子中，若所有连杆都是在同一平面上运动，称为平面连杆。若其中至少有一个连杆是在三维空间下运动，称为空间连杆。机器人系统的骨架即为空间连杆。这些系统的几何设计要通过计算机辅助设计软件进行。

阿基米德[2]应用几何学来研究连杆。在1500年代时，阿基米德及亚历山大港的希罗的研究是机械理论的主要来源。列奥纳多·达·芬奇则发明了许多的机器以及机构[3]。

瓦特蒸汽机在1700年代中期有相当的重要性。詹姆斯·瓦特理解到若用不同的气缸处理蒸气的膨胀及凝结，其效率可以提升。这让他开始寻找可以将旋转运动转换为直线运动的机构，他发明的机构称为瓦特连杆。这开始了如何用连杆产生直线（或近似直线）的研究，也让数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特发明了波塞利耶-利普金机械，可以将旋转运动转换为真正的直线[4]。

西尔维斯特的研究也影响了A. B. Kempe，他证明了可以在一系统中将加法及乘法结合，让系统可以追踪特定的代数曲线[5]。Kempe的设设计方式产生了计算机科学以及几何学共同领域的研究[6][7]。

1800世纪末的F. Reuleaux、A. B. W. Kennedy、L. Burmester将连杆系统的分析及合成由画法几何来进行，而巴夫努提·列沃维奇·切比雪夫开创了研究以及发明连杆的解析技巧[4]。

1900年代中期的F. Freudenstein和G. N. Sandor[8]用新开发的数字电脑来求解连杆的方程序，并针对特定功能的需求决定其尺寸，开始了连杆的电脑辅助设计。二十年后这些电脑技术是复杂机械系统分析[9][10]以及机器手臂控制分析中 [11]不可或缺的一部份。

R. E. Kaufman[12][13]结合了电脑快计算多项式方式根的能力，以及图形化接口，配合Reuleaux的几何方法及Burmester理论，产生了Freudenstein技巧，并且形成了KINSYN，是交互式连杆设计的电脑绘图程序。

连杆的现代研究包括机器人、工具机中铰接系统（articulated systems）的分析及设计，以及线缆驱动和张力系统的分析及设计。这些技术可以应用在生物系统中，甚至是蛋白质的研究。

简单的连杆机构可以进行复杂的运动

由理想转动副连接刚体连杆形成的系统，可以由一组的组态参数来定义其位置，例如在转动副上连杆旋转的角度，或是移动副上滑块相对邻近连杆的距离。由于连杆的几何限制，只要有组态参数中的最小集，即可计算所有的组态参数。最小集即为「输入参数」。输入参数的个数称为连杆系统的可动性（mobility）或自由度。

由n个刚体组成的系统，相对于固定架，会有6n个自由度。若将固定架也算在内，刚体个数N = n + 1，而可动性M = 6(N − 1)，可动性不受选择哪一个刚体为固定架所影响。

连接刚体的连接会让系统的自由度以及可动性减少。转动副和移动副会增加五个限制条件，因此自由度会减5，为了方便起见，可以将连接的限制条件数c用连接的自由度f来表示，c = 6 − f。若以转动副和移动副的例子来看，其自由度为1，f = 1，因此c = 6 − 1 = 5。

因此，n个可动连杆以及j的连接（其自由度分别为f_i, i = 1, ..., j）的连杆系统，可动性可以计算如下

${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}(6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

其中的N是包括固定杆件的数量。这称为Chebychev–Grübler-Kutzbach公式。

有二个重要的特例：简单开放运动键（simple open chain）及简单封闭运动键（simple closed chain）。

简单开放运动键中包括n个可动件，各可动件的端点由ｊ个连接相连，其中一个连到固定杆，因此，N = j + 1，可动性为

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}.}$

简单封闭运动键中包括n个可动件，各可动件的端点由n+1个连接相连，有二个连接接到固定杆，形成一封闭回路。此时，N=j，可动性为

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6.}$

简单开放运动键的例子是串联的机械手臂。机械手臂由许多连杆组成，有六个单一自由度的转动副或移动副组成，因此系统有6个自由度。

简单封闭运动键的例子是由二个转动副（R）和二个移动副（S）组成的RSSR空间四连杆。三个连接的自由度总和为8，因此连杆的自由度为2

平面及球面上的运动

连杆可动性

钳是个四连杆的例子，有一个[自由度，若考虑其可调底座枢轴，即为二自由度的五连杆

常见的连杆系统其运动会限制在互相平行平面上，因此这种连杆会称为「平面连杆」。也有可能连杆系统其运动会限制在同球心的球面上,形成「球面连杆」。这二种连杆中，每一个杆件的自由度只有3，因此每个连接的限制为c = 3 − f.

可动性公式为

${\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

针对以下的特例：

• 平面或是球面的简单开放运动键

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

• 平面或是球面的简单封闭运动键

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-3.}$

平面简单封闭运动键的例子是平面的四连杆，是四连杆封闭回路，有四个自由度为1的连接，因此可动性 M = 1.

连杆机构最常见的连接是转动副（旋转接点，可以简称为R）以及移动副（棱柱接点、滑块，可以简称为P）。其他空间连杆中常见连接都可以用转动副及移动副的组合来表示，例如

• 圆柱副可以用PR或RP的串联运动链表示，而转动副的轴和移动副的轴是平行的。
• 万向接头包括RR的串联运动链，二个转动副的轴有90度的夹角。
• 球销副包括RRR的串联运动链，三个轴相交在同一点。
• 平面副可以用平面的RRR、RPR、或PPR串联运动链表示，有三个自由度。

分析连杆的主要数学工具是系统的动态方程序。是一连串的刚体变换，延着串联的运动链，会让浮动连杆相对固定座可以定位。可以找到一组方程序说明各连杆的位置，也满足系统的参数。此方程序是非线性方程序，用系统的输入参数来求得系统的所有组态参数。

Ferdinand Freudenstein有发展一种方，用上述的方编程平面四连杆，来达到输入参数以及连杆组态之间的特定关系。另一种设计平面四连杆的方式是由Ludwig Burmester所发明的，称为Burmester理论。

可动性公式提供一种决定单自由度连杆的连杆数以及机械连接的方式。若需要让平面连杆的自由度M = 1，而f_i = 1，其结果为

${\displaystyle M=3(N-1-j)+j=1,\!}$

或

${\displaystyle j={\frac {3}{2}}N-2.\!}$

由公式可知连杆数一定要是偶数，

• N = 2, j = 1：这是二杆的连杆，称为杠杆;
• N = 4, j = 4：这是平面四杆机构;
• N = 6, j = 7：这是六杆连杆。其中有二个连杆上面有三个机械连接, 称为三接头杆（ternary links），依三接头杆位置的不同，有二种组态，若二个三接头杆是以一个机械连接相接，称为Watt拓朴，，若二个三接头杆是以一个连杆相接，称为Stephenson拓朴[14]。
• N = 8, j = 10：八杆连杆有16种不同的拓朴
• N = 10, j = 13：十杆连杆有230种不同的拓朴
• N = 12, j = 16：十二杆连杆有6856种不同的拓朴。

平面四杆机构是最简单及常见的连杆，也是单自由度系统。以下是一些平面四杆机构的例子

• 曲柄摇杆机构（crank-rocker），输入杆可以整周旋转（曲柄），输出杆只能一定角度内的转动（摇杆）。
• 双曲柄摇杆机构（double crank），输入杆及输出杆都可以整周旋转。（曲柄），输出杆只能一定角度内的转动（摇杆）。

旋转对也可以变为移动对，即为曲柄滑块机构。

四个长度的杆所组成的各种平面四杆机构，注意各个机构的最长杆L和最短杆S

四杆机构函数产生器，对应函数Log(u) for 1 < u < 10.

• 缩放仪(四杆，2自由度）
• 五杆连杆多半会在两杆之间加上齿轮咬合，因此形成单自由度的连杆。发送功率的能力比四连杆强，而且设计的可变性较大。
• Jansen连杆是八杆的腿形机构，是由Theo Jansen所发明的，有用在仿生兽上
• Klann连杆是六杆的腿形机构
• 肘节机构（Toggle mechanism）也是四杆机构，有特别的尺寸设计，在行程的末端，可以在输入很小力的情形下，有很大的输出力。可以用在钳子上。

[18][19][20]

• 
  摇杆-滑块的函数产生器，可以在1 < u < 10的范围内计算Log(u)
• 
  摇杆-滑块的函数产生器，可以在0 < u < 45°的范围内计算Tan(u)
• 
  四连杆的固定和移动中心
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  齿轮齿条式四连杆
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  RTRTR机构
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  RTRTR机构
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  齿轮五连杆机构
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  3D滑块曲轴机构
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  动画的Pinochio
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  Crawford二次曲线规
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  向外折叠展开机构
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  向内折叠展开机构