自反空间

设${\displaystyle X}$为标量域${\displaystyle \mathbb {F} }$（${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$或${\displaystyle \mathbb {C} }$）上的赋范向量空间，其中的范数记作${\displaystyle \|\cdot \|}$。考虑它的对偶赋范空间${\displaystyle X'}$。依定义，${\displaystyle X'}$是由所有从${\displaystyle X}$射到标量域${\displaystyle \mathbb {F} }$上的连续线性泛函${\displaystyle f\;\;:\;X\to {\mathbb {F} }}$构成的空间（也称为连续对偶空间），装备了对偶范数${\displaystyle \|\cdot \|'}$：

${\displaystyle \|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|\leq 1\}.}$

对偶空间${\displaystyle X'}$因此也是赋范空间（可以证明是巴拿赫空间），而它的对偶赋范空间${\displaystyle X''=(X')'}$则称为元空间${\displaystyle X}$的二次对偶空间（或称双对偶空间）。二次对偶空间由所有从${\displaystyle X'}$射到标量域${\displaystyle \mathbb {F} }$上的连续线性泛函${\displaystyle h\;\;:\;X'\to {\mathbb {F} }}$构成的赋范空间，其中的范数${\displaystyle \|\cdot \|''}$是${\displaystyle \|\cdot \|'}$的对偶范数。空间${\displaystyle X}$中的任意向量${\displaystyle x\in X}$都可以诱导一个标量函数${\displaystyle J(x):X'\to {\mathbb {F} }}$，由以下的方法定义：

${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X',}$

这个${\displaystyle J(x)}$是一个从${\displaystyle X'}$射到标量域${\displaystyle \mathbb {F} }$上的连续线性泛函，所以${\displaystyle J(x)\in X''}$。因而可以定义一个映射：

${\displaystyle J:X\to X''}$

这个映射称作“赋值映射”，是一个线性映射。根据哈恩－巴拿赫定理，映射${\displaystyle J}$是单射，并且保持范数：

${\displaystyle \forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|,}$

这说明，映射${\displaystyle J}$将空间${\displaystyle X}$等距地映射到其在${\displaystyle X''}$中的像：${\displaystyle J(X)}$上。而映射的像${\displaystyle J(X)}$不一定是${\displaystyle X''}$的全部，有可能只是${\displaystyle X''}$的一个拓撲子空間。而空间${\displaystyle X}$被称为自反空间，如果它满足以下几个等价条件中的一个：

1. 赋值映射${\displaystyle J:X\to X''}$是满射；
2. 赋值映射${\displaystyle J:X\to X''}$是赋范空间之间的等距同构；
3. 赋值映射${\displaystyle J:X\to X''}$是赋范空间之间的同构[1]^:15[2]^:129。

自反空间必然是巴拿赫空间，因为它和自身的二次对偶空间同构，而后者必然是巴拿赫空间[3]^:49。

自反空间通过赋值映射与其二次对偶空间等距同构。然而也存在这样的巴拿赫空间${\displaystyle X}$，它与自身的二次对偶空间通过另外的方式等距同构（在另外的范数下），但如果考察赋值映射${\displaystyle J}$，则它只将元空间${\displaystyle X}$和它的二次对偶空间的一个子空间进行等距同构。这样的空间称为准自反空间[4][1]^:15[2]^:130。如果赋值映射${\displaystyle J}$将${\displaystyle X}$同构到它的二次对偶空间的某个子空间，而这个子空间的余维数为d，则称元空间${\displaystyle X}$为d阶准自反空间。

• 每个有限维赋范向量空间都是自反空间。这是因为有限维赋范向量空间的对偶空间的维数等于元空间（因此二次对偶空间的维数也等于元空间）。因此，如果考虑赋值映射${\displaystyle J}$，根据秩－零化度定理，${\displaystyle J}$是同构。
• 考虑由所有极限为零的实数列${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$构成的向量空间${\displaystyle c_{0}}$，并考虑其上的范数：

  ${\displaystyle \forall a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in c_{0},\;\;\|a\|=\sup _{n\in \mathbb {N} }\{a_{n}\}}$

赋范向量空间${\displaystyle c_{0}}$不是自反空间[3]^:49[2]^:130。由以下提到的基本性质可以推出，序列空间${\displaystyle \ell ^{1}}$和${\displaystyle \ell ^{\infty }}$也不是自反空间。因为${\displaystyle \ell ^{1}}$是${\displaystyle c_{0}}$的对偶空间，${\displaystyle \ell ^{\infty }}$是${\displaystyle \ell ^{1}}$的对偶空间。

• 所有的希尔伯特空间都是自反空间。比如说，${\displaystyle L^{2}}$空间是自反空间[3]^:49[2]^:130。另外，当${\displaystyle 1<p<\infty }$时，${\displaystyle L^{p}}$空间都是自反空间。根据更一般的结论（米尔曼－佩提斯定理），所有一致凸的巴拿赫空间都是自反空间。${\displaystyle L^{1}(\mu )}$空间和${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$空间在维数是无穷维的时候都不是自反空间。与此类似的，由区间[0, 1]上的连续函数构成的巴拿赫空间${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$也不是自反空间。[3]^:50-51