电偶极矩

假设一介电质拥有自由电荷密度${\displaystyle \rho _{free}(\mathbf {r} ')}$、电偶极矩密度${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}$、电四极矩密度${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {Q}}}(\mathbf {r} ')}$等等，平滑地分布于区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$，则其电势为[3]

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {{\mathfrak {Q}}_{ij}(\mathbf {r} ')(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{2|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{5}}}\dots \right]\ d^{3}\mathbf {r} '}$；

其中，${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle x_{3}}$是${\displaystyle \mathbf {r} }$的三个直角坐标。

为了方便运算，只取至电偶极矩密度项目，

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

应用矢量恒等式与分部积分法，带单撇号的梯度符号表示对于源位置的偏微分，

${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$，

积分方程序的右手边第二个项目变为

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ d^{3}\mathbf {r} '&=\int _{\mathbb {V} '}{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '\\&=\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '-\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}}$。

应用散度定理，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ d^{3}\mathbf {r} '=\oint _{\mathbb {S} '}\left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\cdot \ d\mathbf {a} '}$。

假设区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$变为无穷大，则其闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的积分项目趋向于零，所以，

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\rho _{free}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-\ {\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

注意到电势乃是由总电荷决定：

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{total}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

由于积分于任意体积，以下全等式成立（由于不会造成歧义，可以不使用单撇号）：

${\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} )}$。

因此，束缚电荷密度与电偶极矩密度的关系为

${\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}}$。

设置电极化强度为电偶极矩密度[4]：${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}}$，则

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}}$。

类似地，可以将电四极矩密度项目加入为电极化强度的一部分。例如，在计算电磁波的散射于介电质时，电荷、电偶极子、电多极子等等，这些实体会各自不同地散射电磁波，因此，可能需要使用比电偶极矩近似法更加精确的方法[5]。

均匀电偶极子分布会造成面束缚电荷的出现。简图上方的蓝色粗线表示负性面电荷；下方的红色粗线表示正性面电荷。

前面论述做了一个假设，即区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$变为无穷大。这假设促使闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的积分项目趋向于零；倘若不作这假设，倘若区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$的体积为有限尺寸，则闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的积分项目会展示出面束缚电荷。如右图所示，电偶极子均匀地分布于区域内部，每一个电偶极子的矢头（正电荷）与矢尾（负电荷）会互相抵消。但是，在这区域的闭曲面，矢头与矢尾无法互相抵消，电偶极子的矢头形成了正性面电荷，而矢尾形成了负性面电荷。这两组异性面电荷会产生电场，其方向与电偶极矩的方向相反。

假设自由电荷密度为零，电极化强度为电偶极矩密度，则电势以方程序表示为

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} '}\left({\frac {{\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\cdot \ d\mathbf {a} '-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\nabla '\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}}$。

设置束缚电荷密度为

${\displaystyle \sigma _{bound}={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}}$；

其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$是闭曲面${\displaystyle \mathbb {S} '}$的法矢量，从${\displaystyle \mathbb {S} '}$往外指出。

那么，在区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$内的电偶极子分布所产生的电势，可以视为是由体束缚电荷密度${\displaystyle \rho _{bound}}$与面束缚电荷密度${\displaystyle \sigma _{bound}}$共同产生：

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} '}{\frac {\sigma _{bound}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ da'+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{bound}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ d^{3}\mathbf {r} '}$。

假设介电质球的相对电容率大于四周环境的电极化率，当施加均匀外电场后，电位移场线展示出的图样[6]。

思考处于均匀外电场${\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }=E_{\infty }{\hat {\mathbf {z} }}}$的一个线性均匀介电质球，其相对电容率为${\displaystyle \epsilon _{r}}$。采用球坐标系${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$，则对于方位角对称系统，拉普拉斯方程序的一般解为

${\displaystyle \phi (r,\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(A_{l}\ r^{l}+B_{l}\ r^{-(l+1)})P_{l}(\cos {\theta })}$；

其中，${\displaystyle A_{l}(\cos {\theta })}$是系数，${\displaystyle P_{l}(\cos {\theta })}$是勒让德多项式。

设置球坐标系的原点与介电质球的球心同位置，在球内部，不容许${\displaystyle r^{-(l+1)}}$项目存在，否则，在球心位置，电势会发散，所以，

${\displaystyle \phi _{in}(r,\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }A_{l}\ r^{l}P_{l}(\cos {\theta })}$。

在球外部，当${\displaystyle r}$超大于球半径${\displaystyle R}$时，外电场项目是主要项目，其它项目都趋向于零，因此电势趋向于${\displaystyle -E_{\infty }r\cos {\theta }}$，所以，

${\displaystyle \phi _{out}(r,\theta )=-E_{\infty }r\cos {\theta }+\sum _{l=0}^{\infty }B_{l}r^{-(l+1)}P_{l}(\cos {\theta })}$。

在球表面，两电势函数必需满足以下边界条件：

${\displaystyle \phi _{in}(R,\theta )=\phi _{out}(R,\theta )}$、

${\displaystyle \epsilon _{r}\left.{\frac {\partial \phi _{in}(r,\theta )}{\partial r}}\right|_{r=R}=\left.{\frac {\partial \phi _{out}(r,\theta )}{\partial r}}\right|_{r=R}}$。

匹配${\displaystyle P_{l}(\cos {\theta })}$相同的项目，第一个边界条件导致

${\displaystyle A_{1}R=-E_{\infty }R+B_{1}R^{-2}}$、

${\displaystyle A_{l}R^{l}=B_{l}R^{-(l+1)},\qquad \qquad l\neq 1}$；

第二个边界条件导致

${\displaystyle \epsilon _{r}A_{1}=-E_{\infty }-2B_{1}R^{-3}}$、

${\displaystyle \epsilon _{r}lA_{l}R^{(l-1)}=-(l+1)B_{l}R^{-(l+2)},\qquad \qquad l\neq 1}$。

从这些方程序，经过一番运算，可以得到

${\displaystyle A_{1}=-\ {\frac {3E_{\infty }}{\epsilon _{r}+2}}}$、

${\displaystyle B_{1}={\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}E_{\infty }}{\epsilon _{r}+2}}}$；

其它系数都等于零：

${\displaystyle A_{l}=B_{l}=0,\qquad \qquad l\neq 1}$。

所以，在球外部，电势为

${\displaystyle \phi _{out}(r,\theta )=-E_{\infty }r\cos {\theta }+{\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}E_{\infty }\cos {\theta }}{(\epsilon _{r}+2)r^{2}}}}$。

这等价于外电场${\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }}$与电偶极矩${\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \epsilon _{0}\left({\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }}$所共同产生的电势，或者，外电场与电偶极矩密度${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}={\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\epsilon _{0}\left({\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }}$、半径为${\displaystyle R}$的介电质球所共同产生的电势。

因子${\displaystyle {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}}$称为克劳修斯-莫索提因子。这因子显示出，假若${\displaystyle \epsilon _{r}<1}$，则感应电极化强度会改变正负号。当然，实际上，由于介电质的${\displaystyle \epsilon _{r}\geq 1}$，这状况永远不会发生。但是，假设这介电质球含有两种不同的介电质，${\displaystyle \epsilon _{r}}$会被替代为内层与外层的相对电容率的比例，而这比例有可能大于或小于1。

在球内部，电势为

${\displaystyle \phi _{in}(r,\theta )=-{\frac {3}{\epsilon _{r}+2}}E_{\infty }r\cos {\theta }}$。

电场为

${\displaystyle \mathbf {E} _{in}=-\nabla \phi _{in}(r,\theta )={\frac {3}{\epsilon _{r}+2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-\ {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }}$。

这显示出电偶极子的「去电极化效应」，所产生的去极化场${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$为

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}=\mathbf {E} _{in}-\mathbf {E} _{\infty }=-\ \left({\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }=-{\frac {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}{3\epsilon _{0}}}}$。

注意到在介电质球内部，电场具有均匀性，并且与外电场平行。电场与电偶极矩密度的关系为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}=\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E} _{in}}$；

电偶极矩密度也是均匀的，所以，体束缚电荷密度为零：

${\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}=0}$。

在介电质球表面，面束缚电荷密度是内外两电场的径向分量的差值，或电偶极矩密度与径向单位矢量的内积：

${\displaystyle \sigma _{bound}={3}\varepsilon _{0}{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}E_{\infty }\cos {\theta }={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}$。

由于内禀电偶极矩而产生的宇称（P）破坏和时间反演（T）破坏。

假设基本粒子拥有内禀电偶极矩，则宇称（P）和时间反演对称性（T）都会被破坏。举例而言，思考中子的磁偶极矩和假定的电偶极矩，这两种矢量的方向必需相同。但是，时间反演会逆反磁偶极矩的方向，不会改变电偶极矩的方向[注 2]；空间反演（宇称）会逆反电偶极矩的方向，不会改变磁偶极矩的方向[注 3] 。电偶极矩的存在破坏了这些对称性。假定CPT对称性正确无误，则时间反演破坏也促使CP对称性被破坏。

按照前面论述，为了营造有限值电偶极矩，必需先存在有破坏CP对称性的理论进程。实验者已经在弱交互作用的实验中观测到CP破坏，也已经能够用标准模型的卡比博-小林-益川矩阵中的CP破坏相位来解释CP破坏。但是，这解释所获得的CP破坏数值非常微小，因此对于电偶极矩的贡献也微乎其微：${\displaystyle |p_{n}|\sim 10^{-32}\ e\ \mathrm {cm} }$[14]。远远低于现在最精密实验所能测量到的数值。电偶极矩实验可以用来核对很多从标准模型延伸的崭新理论，例如如最小超对称标准模型（）、左右对称模型（）等等。这些理论估计的电偶极矩数值在可核对值域内。