电势

由点电荷 Q 所产生的电势，在距离 r 时，可表示为

${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}}$

其中，ε₀ 是真空电容率。

在无限远处，电势为零。由多个点电荷产生的电势，相等于各点电荷所产生的电势之和。此外，电势场是纯量场，电场则是矢量场。

电场遵守叠加原理：假设在三维空间里，由两组完全不相交的电荷分布所产生的电场分别为${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$、${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$，则总电场为${\displaystyle \mathbf {E} _{t}=\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}}$。

总电势为每单位电荷克服电场力所做的机械功之和：

${\displaystyle \phi _{t}(\mathbf {r} )=-\int _{\infty }^{\mathbf {r} }\mathbf {E} _{t}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\infty }^{\mathbf {r} }(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\phi _{1}(\mathbf {r} )+\phi _{2}(\mathbf {r} )}$。

所以，电势也遵守叠加原理。当计算一组电荷分布所产生的电势时，只需要知道在电荷分布的每个源位置的单独电荷所产生在检验位置的电势，就可以应用积分运算，得到整个电荷分布所产生在检验位置的电势。

应用积分符号内取微分方法，电势的梯度为

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } \int _{\infty }^{\mathbf {r} }\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}^{\,\prime }=-\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$。

所以，电场与电势之间的关系为

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )}$。

根据高斯定律的方程序，

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}$；

其中，${\displaystyle \rho }$是电荷密度，${\displaystyle \epsilon _{0}}$是电常数。

所以，电势满足帕松方程序：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-\rho /\epsilon _{0}}$。

假设电荷密度为零，则这方程序变为拉普拉斯方程序：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$。

请注意，假若${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq 0}$，也就是说，电场不具保守性（由于随时间变化的磁场造成的效应；参阅马克士威方程组），则不能使用这些方程序。

由于电势乃是纯量，而电场是具有三个分量的矢量，所以，很多时候，使用电势来解析问题会省去很多运算工作，带来很大的便利。

在静电学里，有三种边界条件：

1. 狄利克雷边界条件：在所有边界，电势都已良态给定。具有这种边界条件的问题称为狄利克雷问题。
2. 纽曼边界条件：在所有边界，电势的法向导数都已良态给定。具有这种边界条件的问题称为纽曼问题。
3. 混合边界条件：一部分边界的电势都已良态给定，其它边界的电势的法向导数也已良态给定。

根据拉普拉斯方程序的唯一性定理，对于这些种类的边界条件，拉普拉斯方程序的解答都具有唯一性。所以，只要找到一个符合边界条件的解答，则这解答必定为正确解答。

应用分离变量法来解析拉普拉斯方程序，可以将问题的偏微分方程序改变为一组较容易解析的常微分方程序。对于一般问题，通常会采用直角坐标系、圆柱坐标系或球坐标系来分离拉普拉斯方程序。但是，对于其它比较特别的问题，另外还有八种坐标系可以用来分离拉普拉斯方程序。[3]分离之后，找到每一个常微分方程序的通解（通常为一组本征方程序的叠加），电势可以表达为这些通解的乘积。将这表达式与边界条件相匹配，就可以设置一般解的系数，从而找到问题的特解。根据拉普拉斯方程序的唯一性定理，这特解也是唯一的正确解答。

被位于${\displaystyle y=0}$的绝缘线条分隔为处于y⁺、y^--半平面的两个导体的电势分别设置为${\displaystyle +V}$、${\displaystyle -V}$。

假设在xy-平面的无限平面导体被一条位于${\displaystyle y=0}$的绝缘线条分为两半，两个处于y⁺、y^--半平面的导体的电势分别设置为${\displaystyle +V}$、${\displaystyle -V}$，则计算z⁺-半空间任意位置的电势这问题，由于边界条件的几何形状适合用直角坐标来描述，可以以直角坐标${\displaystyle (x,y,z)}$将拉普拉斯方程序表示为：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}$。

因为这案例与x-坐标无关，方程序可以简化为

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (y,z)={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}$。

应用分离变量法，猜想解答的形式为

${\displaystyle \phi (y,z)=Y(y)Z(z)}$。

将这公式代入拉普拉斯方程序，则可得到

${\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Y(y)}{\mathrm {d} y^{2}}}+{\frac {1}{Z(z)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Z(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}=0}$。

注意到这方程序的每一个项目都只含有一个变量，并且跟其它变量无关。所以，每一个项目都等于常数：

${\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Y(y)}{\mathrm {d} y^{2}}}=C}$、

${\displaystyle {\frac {1}{Z(z)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Z(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}=-C}$。

这样，一个二次偏微分方程序被改变为两个简单的二次常微分方程序。解答分别为

${\displaystyle Y(y)=A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky}}$、

${\displaystyle Z(z)=B_{1}e^{kz}+B_{2}e^{-kz}}$；

其中，${\displaystyle A_{1}(k)}$、${\displaystyle A_{2}(k)}$、${\displaystyle B_{1}(k)}$、${\displaystyle B_{2}(k)}$都是系数函数。

当${\displaystyle z}$趋向于无穷大时，${\displaystyle Z(z)}$趋向于零，所以，${\displaystyle B_{1}=0}$。综合起来，电势为

${\displaystyle \phi (y,z)=\int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})e^{-kz}\mathrm {d} k}$。

由于在${\displaystyle z=0}$，y⁺、y^--半平面的电势分别为${\displaystyle +V}$、${\displaystyle -V}$，所以，

当${\displaystyle y>0}$时，${\displaystyle \int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrm {d} k=+V}$、

当${\displaystyle y<0}$时，${\displaystyle \int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrm {d} k=-V}$。

应用傅里叶变换，可以得到

${\displaystyle A_{1}(k)={\frac {V}{2\pi }}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-iky'}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{-iky'}\mathrm {d} y'\right)}$、

${\displaystyle A_{2}(k)={\frac {V}{2\pi }}\left(\int _{0}^{\infty }e^{iky'}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{iky'}\mathrm {d} y'\right)}$。

所以，由${\displaystyle A_{1}(k)}$项目贡献出的电势为

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}&={\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k\left\{\int _{0}^{\infty }e^{ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'\right\}\\&=-\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{i(y-y')-z}}+\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}$ 。

类似地，由${\displaystyle A_{2}(k)}$项目贡献出的电势为

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{2}&={\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k\left\{\int _{0}^{\infty }e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'\right\}\\&=-\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{-i(y-y')-z}}+\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{-i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}$ 。

总电势为[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &={\frac {Vz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\ {\frac {Vz}{\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\\&={\frac {2V}{\pi }}\ \arctan {\left({\frac {y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}}$。

根据库仑定律，一个源位置为${\displaystyle \mathbf {r} '}$的点电荷${\displaystyle q}$，所产生在任意位置${\displaystyle \mathbf {r} }$的电场为

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$。

对于一群点电荷，应用叠加原理，总电场等于每一个点电荷所产生的电场的叠加。体积区域${\displaystyle \mathbb {V} '}$内部电荷密度为${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$的电荷分布，在检验位置${\displaystyle \mathbf {r} }$所产生的电场为

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} '){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}r'}$；

其中，${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'}$是微小体积元素。

应用一条矢量恒等式，

${\displaystyle \nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=-\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$，

可以得到

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\nabla \int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'}$。

设置在无穷远的电势为参考值0，则在任意位置的电势为

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'}$；（1）

应用一则关于狄拉克δ函数的矢量恒等式

${\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$，

假设检验位置${\displaystyle \mathbf {r} }$在积分体积${\displaystyle \mathbb {V} '}$内，则可得到帕松方程序：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla ^{2}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\ \mathrm {d} ^{3}r'=-\ {\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'=-\ {\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}}$。

所以，电势的方程序（1）为帕松方程序的解答。

电势的方程序（1）只考虑到一群电荷分布所产生的电势。假若遭遇边界条件为电势的静电学问题，就不能使用方程序（1），必需使用更具功能的方法。

根据格林第二恒等式，对于任意良态函数${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$与${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$，[5]

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\left(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi \right)\ \mathrm {d} ^{3}r=\oint _{\mathbb {S} }\left(\phi {\partial \psi \over \partial n}-\psi {\partial \phi \over \partial n}\right)\ \mathrm {d} ^{2}r}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$是积分体积，${\displaystyle \mathbb {S} }$是包住${\displaystyle \mathbb {V} }$的闭表面，${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}r}$是微小面元素，${\displaystyle \partial \phi \over \partial n}$或${\displaystyle \partial \phi \over \partial n}$都是取垂直于闭表面${\displaystyle \mathbb {S} }$的法向导数，都是从积分体积${\displaystyle \mathbb {V} }$朝外指出。

设置${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ')}$为在${\displaystyle \mathbf {r} '}$的电势，${\displaystyle \psi ={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$为${\displaystyle \mathbf {r} '}$与${\displaystyle \mathbf {r} }$之间的距离。应用帕松方程序${\displaystyle \nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )=-\rho /\epsilon _{0}}$，则可得到

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}\left[\phi (\mathbf {r} ')\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)+{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\epsilon _{0}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]\mathrm {d} ^{3}r'=\oint _{\mathbb {S} '}\left[\phi \ {\partial \over \partial n'}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right){\partial \phi \over \partial n'}\right]\mathrm {d} ^{2}r'}$。

再应用矢量恒等式

${\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$。

假设检验位置${\displaystyle \mathbf {r} }$在积分体积${\displaystyle \mathbb {V} '}$内，则可得到

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'+{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\left[\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right){\partial \phi \over \partial n'}-\phi \ {\partial \over \partial n'}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\right]\mathrm {d} ^{2}r'}$。

这方程序右手边的体积分就是电势的方程序（1），而面积分就是因为边界条件而添加的项目。这是${\displaystyle \mathbb {V} '}$体内与体外之间的边界曲面。面积分的第一个项目要求给定在边界曲面的法向电场，即${\displaystyle E_{n'}=-{\partial \phi \over \partial n'}}$，也就是面感应电荷密度${\displaystyle \sigma =\epsilon _{0}E_{n'}}$。面积分的第二个项目要求给定在边界曲面的电势${\displaystyle \phi }$。假若能够知道积分体积内的电荷密度、在闭曲面的面电荷密度与电势，就可以计算出在积分体积内任意位置的电势。

根据柯西边界条件，有时候，给定在边界曲面的法向电场与电势，可能会因为给定过多边界条件，而造成无法计算出一致的电势的状况。实际而言，只要给定法向电场或电势，两者之一，就可以计算出电势。[5]

假若积分体积为无穷大空间，当${\displaystyle r'}$趋向于无穷大时，则面积分的被积分项目会以${\displaystyle 1/r'^{3}}$速率递减，而积分面积会以${\displaystyle r'^{2}}$速率递增，所以，面积分项目会趋向于零，这方程序约化为先前的电势方程序（1）。

包括函数${\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$在内，有一类函数${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$，称为格林函数，能够满足方程序

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$。

另外，假设函数${\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$满足拉普拉斯方程序

${\displaystyle \nabla ^{2}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0}$，

则函数${\displaystyle G'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$也是格林函数。

应用这灵活性质，可以更严格地规定格林函数：[5]

• 对于狄利克雷问题，当源位置${\displaystyle \mathbf {r} '}$在边界表面${\displaystyle {\mathbb {S} '}}$时，规定格林函数${\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0}$。这样，从格林第二恒等式，设置${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ')}$为在${\displaystyle \mathbf {r} '}$的电势，${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$，则可得到

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\phi (\mathbf {r} ')\ {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ') \over \partial n'}\mathrm {d} ^{2}r'}$。（2）

• 对于满足纽曼问题，当源位置${\displaystyle \mathbf {r} '}$在边界表面${\displaystyle {\mathbb {S} '}}$时，规定格林函数${\displaystyle \oint _{\mathbb {S} '}{\frac {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\mathrm {d} ^{2}r'=-{\frac {4\pi }{S}}}$。

这两种规定都能够唯一地设置格林函数。注意到格林函数是一个几何函数，与整个系统的电荷分布无关。对于任何系统，只要计算出适合其几何形状的格林函数，则不论系统的电荷分布为何，都可以使用同样的格林函数。

位于xy-平面的是一个接地的无限平面导体。其上方的点电荷${\displaystyle q}$的直角坐标是${\displaystyle (0,\,0,\,a)}$。

假设xy-平面是接地的无限平面导体，则对于z⁺半空间、满足狄利克雷边界条件的格林函数为

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}\\\qquad \qquad \qquad -\ {\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{matrix}}}$ ；

其中，${\displaystyle (x,y,z)}$、${\displaystyle (x',y',z')}$分别是检验位置${\displaystyle \mathbf {r} }$、源位置${\displaystyle \mathbf {r} '}$的直角坐标。

由于接地导体的电势为零，方程序（2）的面积分项目等于零，方程序（2）变为

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'}$。

假设在位置${\displaystyle (0,0,a)}$有点电荷${\displaystyle q}$，则在z⁺半空间任意位置的电势为

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\ \mathrm {d} ^{3}r'\\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\\\end{aligned}}}$。

仔细检察这方程序，右手边第一个项目，是在没有平面导体的状况时，点电荷${\displaystyle q}$所产生的电势；右手边第二个项目，是使用镜像法时，镜像电荷${\displaystyle -q}$所产生的电势。请参阅镜像法条目的点电荷与无限平面导体段落。

已知函数${\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$为格林函数${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$，满足方程序

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$。

在三维无限空间里，${\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$的傅里叶级数为[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}&\equiv {\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} ^{3}k{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}}{k^{2}}}\\&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}{\frac {e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}\\\end{aligned}}}$ 。

现在，必需找到格林函数${\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$，满足狄利克雷边界条件${\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf {r} ')=0}$，同时，函数${\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$满足拉普拉斯方程序

${\displaystyle \nabla ^{2}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0}$。

对于z⁺半空间，${\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$以傅里叶级数扩张为

${\displaystyle {\begin{aligned}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]\\\end{aligned}}}$。

对于x-座标与对于y-座标的傅里叶级数扩张，${\displaystyle H}$函数与${\displaystyle G}$函数的形式相同。这是因为对于无限空间案例与无限平面导体案例，两种案例的x-边界条件与y-边界条件都相同，只有z-边界条件稍有改变。将${\displaystyle H}$函数的方程序代如，${\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$变为

${\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[{\frac {e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]}$；

其中，${\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')}$与${\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')}$都是系数函数。

由于${\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf {r} ')=0}$，对于任意${\displaystyle \mathbf {k} }$与${\displaystyle z'}$，${\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')}$与${\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')}$之间的关系为

${\displaystyle {\frac {e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf {k} ,z')+C\mathbf {k} ,z')=0}$、

${\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')={\frac {B_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}}$、

${\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')={\frac {C_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}}$；

其中，${\displaystyle B_{0}}$与${\displaystyle C_{0}}$都是系数常数，而且，${\displaystyle B_{0}+C_{0}=-1}$

将这些公式代入${\displaystyle G_{D}}$，可以得到

${\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {(1+B_{0})}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}}$。

为了满足方程序${\displaystyle \nabla ^{2}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$，必需设置${\displaystyle B_{0}=0}$。所以，

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {1}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}\\&={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ''|}}\\&={\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}-\ {\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} ''=(x',y',-z')}$是镜像电荷的位置。

假设在xy-平面的无限平面导体被一条位于${\displaystyle y=0}$的绝缘线条分为两半，两个处于y⁺、y^--半平面的导体的电势分别设置为${\displaystyle +V}$与${\displaystyle -V}$，则由于${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=0}$，方程序（2）变为

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\phi (\mathbf {r} ')\ {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ') \over \partial n'}\mathrm {d} ^{2}r'}$。（3）

注意到${\displaystyle \mathbb {V} '}$是z⁺-半空间，xy-平面是其边界闭曲面的一部分，格林函数在xy-平面的法向导数的方向是朝着负z方向：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial G_{D} \over \partial n'}&=-\ {\partial G_{D} \over \partial z'}\\&=-\ {\cfrac {z-z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}]^{3/2}}}\ -\ {\cfrac {z+z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}]^{3/2}}}\\&=-\ {\cfrac {2z}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\\\end{aligned}}}$。

${\displaystyle \mathbb {V} '}$的边界闭曲面在无穷远位置的电势为0，所以，只需要计算xy-平面给出的贡献，就可以得到在${\displaystyle \mathbb {V} '}$内部任意位置的电势。将上述方程序代入方程序（3）：[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {2z}{4\pi }}\left\{\int _{0+}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\cfrac {V\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}+\int _{-\infty }^{0-}\int _{-\infty }^{\infty }{\cfrac {-V\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\right\}\\&=\ {\frac {zV}{\pi }}\left\{\int _{0+}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\int _{-\infty }^{0-}{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\right\}\\&={\frac {2V}{\pi }}\ \arctan {\left({\frac {y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}}$。