测度

若照着上述定义，根据可数可加性，不少母集合本身的测度值会变成无穷大（如对 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ 本身取勒贝格测度），所以实际上不存在。但某些书籍[2]会形式上将无穷大视为一个数，而容许测度取值为无穷大；这样定义的书籍，会把只容许有限实数值的测度称为（非负）有限测度。但这样"定义"，会造成可数可加性与数列收敛的定义产生矛盾。

所以要延续体积是一种＂度量＂的这种直观概念（也就是严谨的定义勒贝格测度），那就必须把σ-代数换成条件比较宽松的半集合环，然后以此为基础去定义一个对应到＂体积＂的前测度。

更进一步的，如果对测度空间 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 来说，母集合 ${\displaystyle X}$ 可表示为 ${\displaystyle \Sigma }$ 内的某可测集合串行 ${\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}$ 的并集：

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$

且 ${\displaystyle \mu }$ 只容许取有限值，则 ${\displaystyle \mu }$ 会被进一步的称为（非负）σ-有限测度。

测度${\displaystyle \mu \ }$的单调性： 若${\displaystyle E_{1}\ }$和${\displaystyle E_{2}\ }$为可测集，而且${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$，则${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$。

若${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }$为可测集（不必是两两不交的），则集合${\displaystyle E_{n}\ }$的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$

如果还满足并且对于所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n}\ }$⊆${\displaystyle E_{n+1}\ }$，则如下极限式成立：

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$

若${\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }$为可测集，并且对于所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n+1}\ }$⊆${\displaystyle E_{n}\ }$，则${\displaystyle E_{n}\ }$的交集是可测的。进一步说，如果至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$的测度有限，则有极限：

${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$

如若不假设至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，令

${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$

这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。