波函数

假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ；其中，${\displaystyle x}$ 是位置，${\displaystyle t}$ 是时间。波函数是复值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的，而是几率性的。粒子的位置 ${\displaystyle x}$ 在区间 ${\displaystyle [a,b]}$ （即 ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ ）的几率${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}}$为

${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x}$ ；

其中，${\displaystyle t}$ 是对于粒子位置做测量的时间。

换句话说，${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}}$ 是粒子在位置 ${\displaystyle x}$ 、时间 ${\displaystyle t}$ 的几率密度。

这导致归一化条件：在位置空间的任意位置找到粒子的几率为100%：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1}$ 。

在动量空间，粒子的波函数表示为 ${\displaystyle \Phi (p,t)}$ ；其中，${\displaystyle p}$ 是一维动量，值域从 ${\displaystyle -\infty }$ 至 ${\displaystyle +\infty }$ 。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的，而是几率性的。粒子的动量 ${\displaystyle p}$ 在区间 ${\displaystyle [a,b]}$ （即 ${\displaystyle a\leq p\leq b}$ ）的几率为

${\displaystyle P_{a\leq p\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p}$ 。

动量空间波函数的归一化条件也类似：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,\left|\Phi (p,t)\right|^{2}\mathrm {d} p=1}$ 。

本图展示一维零自旋自由粒子的波函数范例，左边是位置空间波函数 ${\displaystyle \Psi (x)}$ 的实部（紫色）和几率密度 ${\displaystyle |\Psi (x)|^{2}}$ （红色），右边是动量空间波函数 ${\displaystyle \Phi (p)}$ 的实部（金色）和几率密度 ${\displaystyle |\Phi (p)|^{2}}$ （蓝色）。在x-轴的某位置 ${\displaystyle x}$ 或p_x-轴的某动量 ${\displaystyle p}$ 显示出的粒子颜色的不透明度，分别表示在那位置 ${\displaystyle x}$ 或动量 ${\displaystyle p}$ 找到粒子的几率密度（不是波函数的几率幅）。

位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅里叶变换。他们各自拥有的信息相同，任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为[8]^:108

${\displaystyle \Phi (p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x}$ 、

${\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p}$ 。

3D空间中的自由粒子，其波矢 为k ， 角频率 为ω，其波函数为：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,.}$

粒子被限制在x = 0和x = L之间的1D空间中，其波函数为:[8]^:30-38

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x,t)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-i\omega _{n}t},&\quad 0\leq x\leq L\\\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\\\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle \hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}$是能量本征值，${\displaystyle n}$是正整数，${\displaystyle m}$是质量。

对于一个垒高为 V₀ 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示

在1D情况下，粒子处于如下势垒中：

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

其波函数的定态解为(${\displaystyle k,\kappa }$为常数)

${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+A_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }\exp(\kappa x)+B_{\mathrm {l} }\exp(-\kappa x)&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+C_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x>a.\end{cases}}}$

量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像s轨道和p轨道。然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。

量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自组量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。