扭稜四角反角柱

形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱[7]，其中的扭稜是考克斯特扭稜；而在康威扭稜中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造，在康威多面體表示法中可以表示為sY4[8]。

若一個扭稜四角反角柱邊長為${\displaystyle a}$，則其表面積${\displaystyle A}$為：[9]

${\displaystyle A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12.39230a^{2},}$[10]

而其體積${\displaystyle V}$為：

${\displaystyle V=\xi a^{3},}$

其中${\displaystyle \xi \approx 3.60122}$是下列多項式的最大實根：

${\displaystyle 531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}+11588832x^{4}+4759488x^{2}-892448.}$[11]

令${\displaystyle k}$為下列三次式的正實根，約為${\displaystyle k\approx 0.82354}$：

${\displaystyle 9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.}$

和h約為${\displaystyle h\approx 1.35374}$：

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.}$

則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群之群作用下給出：[12]

${\displaystyle (1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)}$