平方数

一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

通项公式

对于一个整数 n，它的平方写成 n²。n²等于头 n 个正奇数的和（${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)}$）。在上图中，从1开始，第 n 个平方数表示为前一个平方数加上第 n 个正奇数，如 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。

递归公式

每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为 ${\displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2}$。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。

连续整数的和

平方数还可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的平方数非常有用。例如， 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

• 一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

• 四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4^k(8m + 7) 的数。若且唯若一个正整数可以表示因数中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

• 在十进制中，平方数只能以 1，4，6，9 或 00 25 结尾。

1. 若一个数以 0 结尾，它的平方数以 0 结尾（除 0 外，其他数字的个位和十位数字都是 0 ），且00前面的数也是平方数（例如：0x0=0、10x10=100）
2. 若一个数以 1 或 9 结尾，它的平方数以 1 结尾，且前面的两位数字构成的两位数能被 4 整除（例如：1x1=1、11x11=121；9x9=81、19x19=361）
3. 若一个数以 2 或 8 结尾，它的平方数以 4 结尾，且前面的一位数字为偶数（例如：2x2=4、12x12=144；8x8=64、18x18=324）
4. 若一个数以 3 或 7 结尾，它的平方数以 9 结尾，且前面的两位数字构成的两位数能被 4 整除（例如：3x3=9、13x13=169；7x7=49、17x17=289）
5. 若一个数以 4 或 6 结尾，它的平方数以 6 结尾，且前面的一位数字为奇数（例如：4x4=16、14x14=196；6x6=36、16x16=256）
6. 若一个数以 5 结尾，它的平方数以 25 结尾，且前面的一位或两位数字必定为 0，2，06，56 之一，25前面的数是普洛尼克数（例如：5x5=25、15x15=225）

至于为什么祇能以00、25结尾，可以将该数字除以100。可以发现，n.5若写成分数形式，则为(2n+1)/2。设2n+1=p，则p与n互质。根据完全平方公式可得，( 2n/2 + 1/2 )^2=n^2 + 1 + 0.25。由于前面均为整数，所以最终结果小数部分必为.25。乘以100后，则最后两位必为25。

• 在十二进制中，平方数的末位数必定是平方数（0, 1, 4或9）：

1. 若一个数同时是2和3的倍数（也就是为6的倍数），它的平方数以 0 结尾，且前面的一位数字为0或3。
2. 若一个数既不是2的倍数也不是3的倍数（也就是与12互质），它的平方数以 1 结尾，且前面的一位数字为偶数。
3. 若一个数是2的倍数但不是3的倍数，它的平方数以 4 结尾，且前面的一位数字除以4的余数为0或1（也就是说，前一位数为0,1,4,5,8,9）。
4. 若一个数不是2的倍数而是3的倍数，它的平方数以 9 结尾，且前面的一位数字为0或6。

• 每4个连续的自然数相乘加 1，必定会等于一个平方数，即${\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+3n+1)^{2}=[n+(n+1)^{2}]^{2}}$。[1][2][注 1]

• 平方数必定不是完全数。[注 2]
• 平方数必定是3的倍数或者3的倍数+1。
• 平方数必定是4的倍数或者4的倍数+1。
  （以上两者均包括 0 （ 0 倍））

• 0以外的平方数每一位数数字相加之和，不停重复地相加到剩一位数时必定是 1, 4, 9, 7 。[注 3]

• 是否在相继正方形数之间存在一个素数这一命题，对9000000以内的数目是正确的。[3]
• 除了00以外，平方数末2位数若相同，必为44：如12²=144，38²=1444，62²=3844。
• 除了000以外，平方数末3位数若相同，必为444：如38²=1444，462²=213444。[4]
• 除了0000以外，平方数末4位数不可能相同。
• 除了0以外，平方数不可能是普洛尼克数。[注 4]。
• 除了0以外，平方数也不可能是连续若干个（至少两个）数的积。
• 除了0，1，144以外，平方数不可能是费波那契数。[5]

• 除了1跟4以外，平方数也不可能是卢卡斯数。
• 除了0，1，169以外，平方数不可能是佩尔数。
• 除了0，1，4，19600以外，平方数不可能是四面体数[6][7]。
• 除了1跟4900以外，平方数不可能是四角锥数。
• 平方数不可能是楔形数。
• 平方数是模任何整数的二次剩余；另外，如果某个整数是模任何整数的二次剩余，那么她一定是平方数。
• 平方数的正因数总和(含自己)一定是奇数。
• 平方数的正因数个数是奇数。[8]
• 当${\displaystyle m\leq 300000}$时，不定方程${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+......+m^{2}=\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\color {Red}{\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}=n^{2}}}$的正整数解(m , n)只有(1 , 1)与(24 , 70)。

1. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
2. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
3. 《数论妙趣》267页[美国]阿尔伯特-贝勒着 谈祥柏译，上海教育出版社，ISBN 9787532054732。
4. Bernard Schott. . 整数数列在线大全. 2019-10-31 [2023-05-27]. （原始内容存档于2023-05-27）.
5. JOHN H. E. COHN. . Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始内容存档于2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.
6. D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, NY, 1986, 600.
7. D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p. 165 (Rev. ed. 1997).
8. 郭耀元. (PDF). 私立高英高级工商职业学校. （原始内容 (PDF)存档于2018年1月6日）.

• 平方
• 立方数：平方数在立体的推广
• 四次方数：平方数在四维空间的推广
• 五次方数：平方数在五维空间的推广
• 三角形数
• 三角平方数：同时为三角形数和平方数的数
• 多边形数

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