对偶系统

域${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配对（pairing或pair）是一个三元组${\displaystyle (X,Y,b)}$，也可以用${\displaystyle b(X,Y)}$表示， 包含${\displaystyle \mathbb {K} }$上的两个向量空间X、Y及双线性映射${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$，称作与配对关联的双线性映射[1]，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及${\displaystyle \mathbb {K} }$是实数${\displaystyle \mathbb {R} }$或复数${\displaystyle \mathbb {C} }$的例子。

${\displaystyle \forall x\subseteq X}$，定义

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle \forall y\subseteq Y}$，定义

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle \forall b(x,\,\cdot \,)}$是Y上的线性泛函，${\displaystyle \forall b(\,\cdot \,,y)}$是X上的线性泛函。令

$${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}$$

其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。

通常记${\displaystyle \langle x,y\rangle }$而非${\displaystyle b(x,y)}$，这样配对不必写成${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$，而可以写成${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$。不过，本文将用${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$表示求值映射（定义见下），以避免混淆。

若双线性形式b是非退化的，则称配对${\displaystyle (X,Y,b)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的对偶系统或对偶对[2] ，满足下面两条分离公理：

1. Y分离（区分）X的点：若${\displaystyle x\in X}$使得${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$，则${\displaystyle x=0}$；等价地，对所有非零的${\displaystyle x\in X}$，映射${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$不等同于${\displaystyle 0}$（即${\displaystyle \exists y\in Y}$使得${\displaystyle \forall x\in X,\ b(x,y)\neq 0}$）；
2. X分离（区分）Y的点：若${\displaystyle y\in Y}$使得${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$，则${\displaystyle y=0}$；等价地，对所有非零的${\displaystyle y\in Y}$，映射${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$不等同于${\displaystyle 0}$（即${\displaystyle \exists x\in X}$使得${\displaystyle \forall y\in Y,\ b(x,y)\neq 0}$）。

这样b是非退化的，可以说b将X、Y置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），b是三元组${\displaystyle (X,Y,b)}$的对偶配对（duality pairing）。[1][2]

若${\displaystyle \forall x\in X}$,

$${\displaystyle b(x,s)=0\quad \forall s\in S}$$

能推出${\displaystyle x=0}$，则称${\displaystyle S\in Y}$为全集。

X的全子集定义相似（见脚注）。[note 1]因此，当且仅当X是X的全子集，X分离Y中所有点，对Y亦然。

若${\displaystyle b(x,y)=0}$，称向量x、y正交，记作${\displaystyle x\perp y}$。若${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$，称两子集${\displaystyle R\subseteq X}$、${\displaystyle S\subseteq Y}$正交，记作${\displaystyle R\perp S}$；即${\displaystyle \forall r\in R}$、${\displaystyle s\in S}$，${\displaystyle b(r,s)=0}$。子集正交于向量的定义与之类似。

子集${\displaystyle R\subseteq X}$的正交补或零化子是

$${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$

.

于是，当且仅当${\displaystyle R^{\perp }=\{0\}}$，R是X的全子集。

给定在${\displaystyle \mathbb {K} }$上定义了对偶对的三元组${\displaystyle (X,Y,b)}$，子集${\displaystyle A\subseteq X}$的绝对极集或极集是集合

$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

对称地，子集${\displaystyle B\subseteq Y}$的绝对极集或极集记作${\displaystyle B^{\circ }}$，定义为

$${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集${\displaystyle B\subseteq B}$的绝对极也可以称为B的绝对预极（absolute prepolar）或预极（prepolar），可表为${\displaystyle {}^{\circ }B}$。[3]

极${\displaystyle B^{\circ }}$必然是凸集，包含${\displaystyle 0\in Y}$，若B平衡，则${\displaystyle B^{\circ }}$也平衡；若B是X的向量子空间，则${\displaystyle B^{\circ }}$是Y的向量子空间。[4]

若A是X的向量子空间，则${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$，还等于A的实极。若${\displaystyle A\subseteq X}$，则A的双极（bipolar，记作${\displaystyle A^{\circ \circ }}$）是A正交补的极，即集${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)}$。相似地，若${\displaystyle B\subseteq Y}$，则B的双极是${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }}$。

给定对${\displaystyle (X,Y,b)}$，定义新对${\displaystyle (Y,X,d)}$，其中${\displaystyle \forall x\in X,\ \forall y\in Y,\ d(y,x):=b(x,y)}$。[1] 对偶理论有个一贯的主题：任何对${\displaystyle (X,Y,b)}$都有相应的对偶对${\displaystyle (Y,X,d)}$。

约定与定义：给定配对${\displaystyle (X,Y,b)}$的任何定义，将其应用于配对${\displaystyle (Y,X,d)}$，就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。

例如，若X分离Y的点（或者说S是Y的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：Y分离X的点（或者说S是X的全子集）。 下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为d指定符号。

约定与记号：若配对${\displaystyle (X,Y,b)}$的定义及其记号取决于X和Y的顺序（例如，X上的麦奇拓扑${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$），那么交换X、Y顺序就意味着定义适用于${\displaystyle (Y,X,d)}$（接上例，拓扑${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$实际上是拓扑${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$）。

再比如，一旦定义了X上的弱拓扑${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$，则此对偶定义就会自动应用到配对${\displaystyle (Y,X,d)}$，从而得到Y上弱拓扑的定义——${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$而非${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$。

虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对${\displaystyle (X,Y,b)}$与${\displaystyle (Y,X,d)}$互换处理，并用${\displaystyle (Y,X,b)}$表示${\displaystyle (Y,X,d)}$。

设${\displaystyle (X,Y,b)}$是配对，M是X的向量子空间，N是Y的向量子空间。则，${\displaystyle (X,Y,b)}$对${\displaystyle M\times N}$的限制就是配对${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$。若${\displaystyle (X,Y,b)}$是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若${\displaystyle Y\neq \{0\}}$、${\displaystyle N=\{0\}}$）。

本文将使用通常做法，用${\displaystyle (M,N,b)}$表示限制${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$。

设X是向量空间，令${\displaystyle X^{\#}}$表示X的代数对偶空间（即，X上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$，其中${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$，称之为${\displaystyle X\times X^{\#}}$上的求值映射或自然/规范双线性泛函。

注意${\displaystyle \forall x^{\prime }\in X^{\#}}$，${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$只是表示${\displaystyle x^{\prime }}$的另一种方式，即${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

若N是${\displaystyle X^{\#}}$的一个向量子空间，则${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$对${\displaystyle X\times N}$的限制称作规范配对。若此配对是对偶，则称为规范对偶。显然X总是分离N的点，因此当且仅当N分离X中的点，规范配对是对偶系统。 下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。

求值映射记作${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$（而非c），将${\displaystyle (X,N,c)}$改为${\displaystyle \langle X,N\rangle }$。

假设：按惯例，若X是向量空间，N是X上线性泛函的向量空间，则除非另有说明，否则将假定它们同规范配对${\displaystyle \langle X,N\rangle }$相关联。

若N是${\displaystyle X^{\#}}$的向量子空间，则当且仅当N分离X的点（或等价地，N是全的，${\displaystyle \forall n\in N,\ n(x)=0}$能推出${\displaystyle x=0}$），X分离N的点（或等价地，${\displaystyle (X,N,c)}$是对偶），[1]

设X是拓扑向量空间，有连续对偶空间${\displaystyle X^{\prime }}$。 则，规范对偶${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$对${\displaystyle X\times X^{\prime }}$的限制确定了配对${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$，其中X分离${\displaystyle X^{\prime }}$的点。 若${\displaystyle X^{\prime }}$分离X的点（例如，若X是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。[2]

假设：正如通常所作，只要X是拓扑向量空间，则除非另有说明，否则将假定其与规范配对${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$相关联，无需注释。

下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

预希尔伯特空间${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$，当且仅当H是${\displaystyle \mathbb {R} }$上的向量空间，或H是0维，${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是对偶对。这里假定半双线性形式${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。

1. 若${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是实希尔伯特空间，则${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$形成对偶系统。
2. 若${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是复希尔伯特空间，则当且仅当${\displaystyle \operatorname {dim} H=0}$，${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$形成对偶系统。若H非平凡，则${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。[1]

设${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或${\displaystyle \cdot }$表示。 定义映射

$${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$

其中右式使用了H的标量乘法。令${\displaystyle {\overline {H}}}$表示H的复共轭向量空间，其中${\displaystyle {\overline {H}}}$表示加群${\displaystyle (H,+)}$（所以${\displaystyle {\overline {H}}}$中的向量加法与H中的相同），但${\displaystyle {\overline {H}}}$中的标量乘法是映射${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$（而非H被赋予的标量乘法）。

映射${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$定义为${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$，在两个坐标中都是线性的[note 2]，因此${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$形成对偶对。

1. 设${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},\ Y=\mathbb {R} ^{3},\ \forall \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$令
   $${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$

   
   则${\displaystyle (X,Y,b)}$是配对，使X区分Y的点，但Y不区分X的点。此外，${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$

1. 令${\displaystyle 0<p<\infty ,\ X:=L^{p}(\mu ),\ Y:=L^{q}(\mu )}$（其中q满足${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$），${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$则${\displaystyle (X,Y,b)}$是对偶系统。
2. 令X、Y是同一域${\displaystyle \mathbb {K} }$上的向量空间，则双线性形式${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$使${\displaystyle X\times Y}$与${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$对偶。[2]
3. 序列空间X及其Beta-对偶空间${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$，双线性映射定义为${\displaystyle \forall x\in X,\ y\in X^{\beta },\ \langle x,y\rangle$ :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}} 形成对偶系统。

子集${\displaystyle S\subseteq X}$，当且仅当

$${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$

，其中${\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}}$，称S${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界。

若${\displaystyle (X,Y,b)}$是配对，则下列条件等价：

1. X分离Y的点；
2. 映射${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$定义了Y到X的代数对偶空间的单射；[1]
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$是豪斯多夫空间。[1]

下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的连续对偶空间。

弱表示定理[1] — 令${\displaystyle (X,Y,b)}$是域${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配对，则${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的连续对偶空间是

$${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}$$

另外，

1. 若f是${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$上的连续线性泛函，则${\displaystyle \exists y\in Y}$使${\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}$；若这样的y存在，则当且仅当X分离Y的点时，这样的y是唯一的。

• 注意，X是否分离Y中的点并不取决于y的特定选择。

1. ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的连续对偶空间可以视作商空间${\displaystyle Y/X^{\perp }}$，其中${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0\ \ \forall x\in X\}}$。

• 无论X是否分离Y的点，或Y是否分离X中的点，这都是正确的。

因此，${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的连续对偶空间是

$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

关于规范配对，若X是拓扑向量空间，其连续对偶空间${\displaystyle X^{\prime }}$分离X的点（即使${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$豪斯多夫，这可推出X也必豪斯多夫），则${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$的连续对偶空间等于x在X中取值时所有“点x处得值”的映射集合（即将${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$送到${\displaystyle x^{\prime }(x)}$的映射）。 通常写成

$${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$

这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如${\displaystyle X^{\prime }}$上的强对偶拓扑${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$）能应用到原拓扑向量空间X的。例如，将X视作${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$意味着${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$上的拓扑${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$可被视作X上的拓扑。 此外，若${\displaystyle X^{\prime }}$被赋予比${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$更细的拓扑，那么${\displaystyle X^{\prime }}$的连续对偶空间必然包含${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$（作为子集）。 例如，${\displaystyle X^{\prime }}$被赋予强对偶拓扑（于是记作${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$），则

$${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$

这允许X被赋予由强对偶拓扑${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$在X上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X，若${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$则称其是半自反空间，若在此之外，其在X上的强双对偶拓扑${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$还等于X的原/初拓扑，则称其是自反空间。

若${\displaystyle (X,Y,b)}$是配对，则对X的任意子集S：

1. ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$，且此集合是${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-闭的；[1]
2. ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$；[1]

• 因此，若S是X的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-闭向量子空间，则${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$

1. 若${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$是X的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-闭向量子空间族，则

$${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$

[1]

1. 若${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$是X的子集族，则

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$[1]

若X是赋范空间，则根据规范对偶性，${\displaystyle S^{\perp }}$在${\displaystyle X^{\prime }}$中对范是封闭的，${\displaystyle S^{\perp \perp }}$在X中对范是封闭的。[1]

设M是X的向量子空间，并令${\displaystyle (M,Y,b)}$表示${\displaystyle (X,Y,b)}$对${\displaystyle M\times Y}$的限制。 M上的弱拓扑${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$与M从${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$继承的子空间拓扑相同。

另外，${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$是配对空间（paired space）（其中${\displaystyle Y/M^{\perp }}$是${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$），其中${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$定义为

$${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

拓扑${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$等于M继承自${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的子空间拓扑。[5] 此外，若${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$是对偶系统，则${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$也是。[5]

设M是X的向量子空间，则${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$是配对空间，其中${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$定义为

$${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

拓扑${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$等同于${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$在${\displaystyle X/M}$上诱导的一般的商拓扑。[5]

弱X是局部凸空间，且若H是连续对偶空间${\displaystyle X^{\prime }}$的子集，则当且仅当对X中某桶B，有${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$时，H是${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-有界的。[1]

下列结果对定义极拓扑非常重要。 若${\displaystyle (X,Y,b)}$是配对，${\displaystyle A\subseteq X,}$则[1]

1. A的极${\displaystyle A^{\circ }}$是${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$的闭子集。

1. 下列集合的极相同：(a) A；(b) A的凸壳；(c) A的平衡壳；(d) A的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-闭合；(e) A的凸平衡壳的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-闭合。

1. 双极定理：A的双极${\displaystyle A^{\circ \circ }}$等于A的凸平衡壳的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-闭合。

• 双极定理“是处理对偶性时不可或缺的工具”。[4]

1. 当且仅当${\displaystyle A^{\circ }}$吸收于Y时，A是${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界的。
2. 若Y还分离X的点，则当且仅当A是${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-全有界时，A是${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界的。

若${\displaystyle (X,Y,b)}$是配对，${\displaystyle \tau }$是X上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当B是Y的某${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-有界子集的极时，${\displaystyle B\subseteq X}$是${\displaystyle (X,\tau )}$中的桶。[6]

令${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配对，并令${\displaystyle F:X\to W}$是线性映射。

${\displaystyle \forall z\in Z,}$令${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }$是由${\displaystyle x\mapsto c(F(x),z)}$定义的映射。 若满足以下条件，就可以说F的转置或伴随是良定的（well-defined）：

1. X分离Y中的点（或等价地，从Y抵达代数对偶${\displaystyle X^{\#}}$的映射${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$是单射），且
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}$其中${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\},\ b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}$

这样，${\displaystyle \forall z\in Z}$存在（由条件2）唯一的（由条件1）${\displaystyle y\in Y}$，使${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}$，其中Y的这个元素将表为${\displaystyle {}^{t}F(z)}$。这定义了线性映射

$${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$$

称作F的转置或关于${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是${\displaystyle {}^{t}F}$良定的必要条件。 ${\displaystyle \forall z\in Z}$，${\displaystyle {}^{t}F(z)}$的定义条件是

$${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}$$

即，

$${\displaystyle \forall x\in X,\ c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right).}$$

根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为${\displaystyle Z\to Y,}$[note 4] ${\displaystyle X\to Z,}$[note 5] ${\displaystyle W\to Y,}$[note 6] ${\displaystyle Y\to W,}$[note 7]等的线性映射的转置（见脚注）。

${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配对，${\displaystyle F:X\to W}$是线性映射，其转置${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$是良定义的。

• 当且仅当F的范围在${\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right)}$中稠密时，${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$是单射（即${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}$）。[1]
• 若除了${\displaystyle {}^{t}F}$良定义外，${\displaystyle {}^{t}F}$的转置也良定义，则${\displaystyle {}^{tt}F=F}$。
• 设${\displaystyle (U,V,a)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配对，${\displaystyle E:U\to X}$是线性映射，其转置${\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}$是良定义的，则${\displaystyle F\circ E:U\to W}$的转置${\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V}$也是良定义的，且${\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}$
• 若${\displaystyle F:X\to W}$是向量空间同构，则${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$是双射，${\displaystyle F^{-1}:W\to X}$的转置${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z}$是良定义的，且${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}$[1]
• 令${\displaystyle S\subseteq X}$，${\displaystyle S^{\circ }}$表示A的绝对极，则[1]
  1. ${\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}$；
  2. 若${\displaystyle \forall T\subseteq W,\ F(S)\subseteq T}$，则${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$；
  3. 若${\displaystyle T\subseteq W}$使得${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$，则解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle F(S) \subseteq T^{\circ\circ}} ；
  4. 若${\displaystyle T\subseteq W}$，${\displaystyle S\subseteq X}$是弱闭圆盘，则当且仅当${\displaystyle F(S)\subseteq T}$时，${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$；
  5. ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}$

将绝对极换成实极，这些结果不变。

若X、Y是规范对偶下的赋范空间、${\displaystyle F:X\to Y}$是连续线性映射，则${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|}$。[1]

线性映射${\displaystyle F:X\to W}$，若${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$连续，则称其（关于${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$）弱连续。

下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

设X是向量空间，${\displaystyle X^{\#}}$是其代数对偶。则X的所有${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$-有界子集包含于有限维向量子空间，X的所有向量子空间是${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$-闭的。[1]

若${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$是完备拓扑向量空间，例如X是${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-完备或（若无歧义）弱完备的情形。 存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。[1]

若X是向量空间，则在规范对偶下，${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$是完备的。[1] 相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间${\displaystyle Z^{\prime }}$，则当且仅当${\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$时，${\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}$是完备的；即，当且仅当将${\displaystyle z\in Z}$发送到z处求值映射（即${\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}$）的映射${\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$是双射。[1]