八边形

对于一个已给定边长a的正八边形，其面积为：

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828\,a^{2}}$

若已知外置圆半径为R，其面积为：

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}$

若已知内切圆半径或边心距为r，则其面积为：

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}$

正八边形的面积可借由截角正方形的方式计算

其面积也可以表示为：

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

其中，S是八边形的宽度，其值与次短对角线相等；a是边长，或者某个底边的长度。这个面积的公是十分容易证明。取一个正八边形，在正八边形外变化一个正方形，并确保正方形与正八边形的其中四条边部分重叠，然后将正方形四个直角依据正八边形的边长分割出四个等腰直角三角形。取下四个等腰直角三角形可以拼出一个边长与正八边形边长相等的正方形

已知边长为a，则其宽度S是

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

然后面积为

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

若以宽度来表示其面积，则为

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

另外一个简化的面积表示为

${\displaystyle \ A=2aS.}$

若已知S，边长a就能被确定，即上面将正方形切割成正八边形的过程

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

被切去的三角形的底边长${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$，也可以由S和a计算得：

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

边长为a的正八边形外置圆半径为：[6]

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a,}$

内切圆半径为：

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a.}$

1. 先画一个圆，做一个内接正方形ABCD。
2. 过圆心O向任意一边（设为AB）做垂线并延长，延长线交圆O于E。
3. 分别以A,B为圆心，AE为半径画弧，交圆于E,F,G,H。
4. 连接EAFBGCHD，即为正八边形。

星形八边形是一种非凸的八边形，通常具有边自我相交的性质

{8/2} 2{4}

{8/3}

{8/4} 4{2}

莫比乌斯－坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构，其在施莱夫利符号中可以用₃{3}₃来表示、在考克斯特记号中可以用来表示。与一般的八边形不同，莫比乌斯－坎特八边形位于复希尔伯特平面，且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点，称为三元棱或三元边（Trion），这种几何结构在施莱夫利符号中可以用₃{}来表示。[8]

莫比乌斯－坎特八边形的正投影图

考克斯特平面	B4		F4
图
对称性	[8]		[12/3]

一些高维度多胞体的皮特里多边形是扭歪八边形。这些扭歪多边形显示于射影的A₇、B₄和D₅考克斯特平面。

A7	D5	B4
七维正八胞体	五维半立方体	正十六胞体	超立方体