五边形

正多边形的面积公式为：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

其中，${\displaystyle P}$是周长、${\displaystyle r}$是边心距。正五边形的${\displaystyle P}$和${\displaystyle r}$可由三角函数计算：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times 5t\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}}$

其中，${\displaystyle t}$是正五边形的边长。

正五边形是一个圆外切多边形，因此有内切圆。其内切圆半径与边心距相同，并且可以尤其边长来决定。

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t}$

其中，${\displaystyle r}$为内切圆半径与边心距相同、t为正五边形边长。

里士满提出了一个构造正五边形的方法[2]，并且在克伦威尔的《多面体》中被进一步讨论。[3]。

右上的图显示了里士满绘制正五边形的方法。先利用单位圆决定五边形的半径。${\displaystyle C}$为单位圆圆心，${\displaystyle M}$是圆${\displaystyle C}$半径的中点。${\displaystyle D}$是位于垂直于${\displaystyle MC}$的另外一条半径的圆周上。作${\displaystyle \angle CMD}$的角平分线，令${\displaystyle Q}$为${\displaystyle \angle CMD}$的角平分线与${\displaystyle CD}$的交点。作过${\displaystyle Q}$平行于${\displaystyle MC}$的直线，令之与圆${\displaystyle C}$相交的交点为${\displaystyle P}$，则${\displaystyle DP}$为正五边形的边长。

这条边的长度可以利用圆下方的两个直角三角形${\displaystyle DCM}$和${\displaystyle QCM}$。利用勾股定理，较大的三角形斜边为${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}\scriptstyle }$。小三角形其中一股h可由半角公式求得：

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

其中，角${\displaystyle \phi }$可由大三角形求得，其值为：

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

由此可得到在下图正五边形的边长的一些相关值。右侧三角形的边长${\displaystyle a}$可借由再带一次勾股定理得：

${\displaystyle a^{2}=1-h^{2}\$ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .}

欲求出五边形边长${\displaystyle s}$可通过左侧的三角形，由勾股定理得：

${\displaystyle s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\ }$

${\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .}$

使用圆规与直尺建构出正五边形。

五边形边长${\displaystyle s}$为：

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,}$

得到了正确的结果[4]因此此种构造正五边形的方法是有效的。

约西元前300年，欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

打一个反手结的长条纸张

正五边形可以借由尝试在一张长条纸张上打一个反手结，并将多出来的部分向后折来构造。这种折法被用在折纸星星上。

一些高维度多胞体的皮特里多边形是扭歪五边形，例如四维正五胞体[5]。