五角六十面體

五角六十面體是扭棱十二面体的對偶多面體。事實上，五角六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面体構造。首先在扭棱十二面体的所有12個五邊形面上加入五角錐，再將扭棱十二面体的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角六十面體，然而這種方式構造的五角六十面體會稍微有點形變。[9]

五角六十面體只有一種二面角，約為153.18度：[6][7]

${\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {2\left(x+{\frac {2}{x}}\right)\left(1+15\varphi \right)+\left(15+16\varphi \right)}{209}}\right)}\approx }$2.67347322717678${\displaystyle \approx }$153.178732558°

其中${\displaystyle \varphi }$為黃金比例、${\displaystyle x}$為${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}$[6][7]

五角六十面體60個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊，若令${\displaystyle x}$為${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}$，則短邊與長邊的比為：[6][7]

${\displaystyle {\frac {1}{x}}:{\frac {x\left(2+7\varphi \right)+\left(5\varphi -3\right)+{\frac {2\left(8-3\varphi \right)}{x}}}{31}}\approx }$0.582899534744982414 : 1.019988247022845898

其中${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$為黃金比例。

若令${\displaystyle \xi \approx 0.943\,151\,259\,24}$為多項式${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}}$的根，則長邊與短邊的比值${\displaystyle l}$為：

${\displaystyle l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74}$.

也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為1.74985單位長。

組成五角六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為${\displaystyle \arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }}$，約118度8分[1]^:97，而反餘弦內的值是多項式${\displaystyle 64x^{6}-128x^{5}+64x^{4}+24x^{3}-24x^{2}+1}$的第一個實根[2]；銳角的角度為${\displaystyle \arccos(-\varphi ^{2}\xi /2+\varphi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }}$，約67度28分[1]^:97，而反餘弦內的值是多項式${\displaystyle 64x^{6}-384x^{5}+384x^{4}+888x^{3}+168x^{2}-128x-31}$的第4個根[2]。

扭棱十二面體的面心不能直接作為五角六十面體的頂點，因為4個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角六十面體不是一個環帶多面體。

若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為：[6][7]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3\left(x\varphi +1+\varphi +{\frac {1}{x}}\right)}}{2}}\approx }$2.1172098986

十二個五階頂點所在的球面之半徑為：[6][7]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {x^{2}\left(1009+1067\varphi \right)+x\left(1168+2259\varphi \right)+\left(1097+941\varphi \right)}}{62}}\approx }$2.220000699

若要計算五角六十面體的體積和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為${\displaystyle b}$，並令常數${\displaystyle t}$為：[10]

${\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622}$ .

則短邊長為${\displaystyle b}$的五角六十面體表面積（A）為：

${\displaystyle A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698\,964\,198b^{2}}$.

體積（V）為：

${\displaystyle V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789\,852\,067b^{3}}$.

使用以上這些數值，可以計算此形狀的球形度量值：

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.98163}$