Firoozbakht猜想

在數論中，Firoozbakht猜想（Firoozbakht's conjecture或Firoozbakht conjecture[1][2]）是數學上關於質數分布的一個猜想。這猜想以伊朗數學家Farideh Firoozbakht為名，她在1982年提出此猜想。

質數間隙函數

這猜想聲稱，${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$是一個嚴格遞減函數（其中${\displaystyle p_{n}}$是第${\displaystyle n}$個質數），也就是說

${\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1.}$

或等價地

${\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1,}$

相關內容可見A182134及A246782。

藉由使用最大質數間隙（maximal gap）表，Farideh Firoozbakht確認她的猜想對大到${\displaystyle 4.444\times 10^{12}}$的數都成立。[2]利用廣度更大的最大質數間隙表，目前已知這猜想對任何小於${\displaystyle 2^{64}\sim 1.84\times 10^{19}}$的質數都成立。[3][4]

若此猜想成立，那麼質數間隙函數${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$會滿足下列關係：[5]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ for all }}n>4.}$

此外，[6]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ for all }}n>9,}$

對此可見A111943。

這猜想是對質數間隙上界最強的猜想之一，甚至比克拉梅爾猜想和Shanks猜想還強。[4]從這猜想可推出強克拉梅爾猜想，而這與Granville、Pintz[7][8][9]和Maier等人的直觀猜測不一致。[10][11]而這些人的直觀猜測認為，對任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$下式對無限多的數成立：

${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2},}$

其中${\displaystyle \gamma }$是歐拉-馬斯刻若尼常數。

兩個相關的猜想（可見A182514的討論）如下：

比Firoozbakht猜想來得弱的猜想：

${\displaystyle \left({\frac {\log(p_{n+1})}{\log(p_{n})}}\right)^{n}<e,}$

比Firoozbakht猜想來得強的猜想：

${\displaystyle \left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log(n)\qquad {\text{ for all }}n>5,}$