克拉梅爾猜想

克拉梅爾也提出另一個較弱的關於素数間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})}$。[1]

目前這方面最好的無條件結果是

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})}$

而這點由Baker、Harman和Pintz三人證出。[2]

另一方面E. Westzynthius於1931年證明說質數間隙成長速度快過對數，也就是說，[3]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

R. A. Rankin改進了他的結果，[4]並證明說

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0}$

艾狄胥·帕爾猜想說上式的左側趨近於無限，而這點於2014年由Kevin Ford、Ben Green、Sergei Konyagin和陶哲軒四人組。[5]以及詹姆斯·梅納德分別證出。[6]這兩組人馬在該年稍晚將這結果以${\displaystyle \log \log \log p_{n}}$這因子進行改進。[7]

克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的機率模型之上的，在其中一個大小為x的數是質數的機率是${\displaystyle 1/\log {x}}$。而這結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」（Cramér random model）或「克拉梅爾質數模型」（Cramér model of the primes）。[8]

根據克拉梅爾隨機模型，以下事件的機率為一[1]：

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1}$

然而，Andrew Granville指出，[9]根據邁爾定理，克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分布，而在考慮可除性後，修正版克拉梅爾模型指向${\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }$（A125313），其中${\displaystyle \gamma }$是歐拉-馬斯刻若尼常數。János Pintz則認為這比值的上極限可能發散至無限；[10]

類似地，Leonard Adleman和Kevin McCurley寫道說：

「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故，學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…（中略）因此很有可能對於任意的常數${\displaystyle c>2}$而言，總存在一個常數，使得${\displaystyle x}$和${\displaystyle x+d(\log x)^{c}}$有一個質數。」[11]

類似地，Robin Visser寫道說：

「事實上，由於Granville的工作之故，現在學界普遍相信說克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理，和克拉梅爾模型難以兼容。」[12]

質數間隙函數

Daniel Shanks猜想說對質數間隙而言，下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立：[13] ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x}$

J.H. Cadwell[14]則提出下列何質數間隙有關的公式： ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x}$ 這公式和Shanks猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。

Marek Wolf[15]則猜想說在以素數計數函數${\displaystyle \pi (x)}$表示的狀況下，最大質數間隙${\displaystyle G(x)}$如下：

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),}$

其中${\displaystyle c=\log(C_{2})=0.2778769...}$和${\displaystyle C_{2}=1.3203236...}$是孿生質數常數的兩倍，可見A005597和A114907的相關內容。再一次地，這公式和Shanks猜想在形式上一致，但同時提出了如下的低次項：

${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.}$

Thomas Nicely（發現奔騰浮點除錯誤的數學家）曾對許多大質數間隙進行計算，[16]他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度：

${\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}}$

他寫道說「即使對於已知最大的質數間隙，${\displaystyle R}$的值都維持在1.13左右。」

• 質數定理
• 勒讓德猜想和Andrica猜想─兩個遠遠較弱但依舊未證出的關於質數間隙上界的猜想。
• Firoozbakht猜想
• 邁爾定理─一個關於短區間質數個數且克拉梅爾模型給出錯誤預測的定理。

• Guy, Richard K. 3rd. Springer-Verlag. 2004. A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Pintz, János. . Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 2007, 37 (2): 361–376. ISSN 0208-6573. MR 2363833. Zbl 1226.11096. doi:10.7169/facm/1229619660 .
• Soundararajan, K. . Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (编). . NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry 237. Dordrecht: Springer-Verlag. 2007: 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043.

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.