Andrica猜想

Imran Ghory用了大質數間隙的資料，證實了這猜想對大到${\displaystyle 1.3002\times 10^{16}}$的${\displaystyle n}$都成立。[2]利用最大質數間隙（maximal gap）和質數間隙不等式，可將此結果推廣到大到${\displaystyle 4\times 10^{18}}$的${\displaystyle n}$之上。

離散方城${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$呈遞減，其中${\displaystyle A_{n}}$的「高水位」標記，出現在${\displaystyle n=1,2,4}$之處，其中${\displaystyle A_{4}\sim 0.670873...}$，而對於最初的${\displaystyle 10^{5}}$個質數而言，沒有比這更大的值。由於${\displaystyle A_{n}}$這方程對${\displaystyle n}$呈現非病態遞減之故，因此若要在${\displaystyle n}$不斷變大的情況下使得這個差變大，一個不斷增長的質數間隙是必要的。故這猜想非常可能是正確的，但目前還沒有證明。

廣義Andrica猜想對最初100個質數的x的值，並標出x的最小可能解${\displaystyle x_{min}}$的推測位置。

Andrica猜想的推廣會論及以下等式：

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

其中${\displaystyle p_{n}}$是第${\displaystyle n}$個質數，而x是任意正實數。

易證x的最大可能解出現於${\displaystyle n=1}$處，在此處，${\displaystyle x_{max}=1}$；而有猜想認為，x的最小可能解出現於${\displaystyle n=30}$處，在此處，${\displaystyle x_{min}\sim 0.567148...}$。（OEIS數列A038458）

這猜想也可以不等式表述，因此廣義Andrica猜想可表述如下：

對於${\displaystyle x<x_{\min }}$而言，${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$

• 克拉梅爾猜想
• 勒讓德猜想
• Firoozbakht猜想

• Guy, Richard K. 3rd. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

• Andrica's Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.