逆矩阵

如果矩阵${\displaystyle A}$可逆，则${\displaystyle A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}}$其中${\displaystyle A^{*}=\mathrm {adj} (A)}$是${\displaystyle A}$的伴随矩阵，${\displaystyle |A|=\mathrm {det} (A)}$是${\displaystyle A}$的行列式。

注意：${\displaystyle A^{*}}$中元素的排列特点是${\displaystyle A^{*}}$的第${\displaystyle k}$列元素是${\displaystyle A}$的第${\displaystyle k}$行元素的代数余子式。要求得${\displaystyle A^{*}}$即为求解${\displaystyle A}$的余因子矩阵的转置矩阵。

如果矩阵${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$互逆，则${\displaystyle AB=BA=I}$。由条件${\displaystyle AB=BA}$以及矩阵乘法的定义可知，矩阵${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$都是方阵。再由条件${\displaystyle AB=I}$以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为${\displaystyle 0}$。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是${\displaystyle n\times n}$方阵，且${\displaystyle rank(A)=rank(B)=n}$换而言之, ${\textstyle A}$与${\textstyle B}$均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵${\displaystyle A}$施以初等行变换（初等列变换）就相当于在${\displaystyle A}$的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对${\displaystyle A}$和${\displaystyle I}$施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵${\displaystyle A}$被变为${\displaystyle I}$时，${\displaystyle I}$就被变为${\displaystyle A}$的逆阵${\displaystyle B}$。