阿廷模

以下固定一个环 ${\displaystyle A}$。设 ${\displaystyle M}$ 为左 ${\displaystyle A}$-模，当 ${\displaystyle M}$ 满足下列，则称 ${\displaystyle M}$ 为阿廷模：

对所有由 ${\displaystyle M}$ 的子模构成的降链 ${\displaystyle M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots }$，存在 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ 使得 ${\displaystyle i\geq \mathbb {N} \Rightarrow M_{i}=M_{i+1}}$；换言之，此降链将会固定。

若将上述定义中的左模换成右模，可得到右阿廷模的定义。

• 若 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle k}$-代数，任何在 ${\displaystyle k}$ 上有限维的 ${\displaystyle A}$-模都是阿廷模。
• 若 ${\displaystyle N\subset M}$，且 ${\displaystyle N}$ 与 ${\displaystyle M/N}$ 皆为阿廷模，则 ${\displaystyle M}$ 为阿廷模。
• 阿廷模的子模与商模皆为阿廷模。
• 阿廷模与环的性质差异之一，在于有非诺特模的阿廷模，以下将给出一个例子：

令 ${\displaystyle M:=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$，视之为 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模。升链

${\displaystyle \langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \cdots }$

不会固定，因此 ${\displaystyle M}$ 并非诺特模。然而我们知道 ${\displaystyle M}$ 的任何子模皆形如 ${\displaystyle \langle 1/n\rangle }$，由此可知任何降链皆可写成

${\displaystyle \langle 1/n_{1}\rangle \supset \langle 1/n_{2}\rangle \supset \langle 1/n_{3}\rangle \cdots }$

其中 ${\displaystyle n_{i+1}|n_{i}}$，故将固定，于是 ${\displaystyle M}$ 是阿廷模。

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X