運算數

運算數可以很複雜，也可以是由運算數及算子組成的運算式。

${\displaystyle (3+5)\times 2\;}$

在上述的運算式中，(3 + 5)是乘法的第一個運算數，而2是第二個運算數。 運算數(3 + 5)本身也是運算式，其中包括算子加號，以及二個運算數3和5。

算子運算的順序會影響運算的結果[2]：

${\displaystyle 3+5\times 2}$

上述算式中，乘法會在加法前先計算，乘法的運算數分別為5和2，而加法的運算數分別為3和5 × 2。

數學運算有不同的表示法，運算數和算子的對應位置也有所不同。其中最常用的是中缀表示法，二元算子會放在二個運算數的中間[3]，不過也有其他的表示法，像是前綴表示法（也稱為波蘭表示法）及逆波兰表示法（也稱為逆波蘭表示法），這種表示法較常在計算機科學中出現。

以下是不同表示法的比較，都是表示1和2相加：

${\displaystyle {{1}+{2}}}$ （中缀表示法）

${\displaystyle +\;1\;2\;}$（前綴表示法）

${\displaystyle 1\;2\;+\;}$（後綴表示法）

較複雜的例子如：

${\displaystyle \left\vert {{\frac {10}{2}}+{1}}\right\vert }$ （中缀表示法）

${\displaystyle abs\;+\;/\;10\;2\;1\;}$（前綴表示法）

${\displaystyle 10\;2\;/\;1\;+\;abs\;}$（後綴表示法）

以上三個式子皆代表10先除以二，與1相加後再取絕對值。其中，${\displaystyle abs}$表示一數的絕對值。

前綴表示法和後綴表示法中不需處理運算次序的問題，但中缀表示法需考慮到各算子的運算次序，可以用以下的英文句子助憶：

Please excuse my dear Aunt Sally.[4]

其中單字的第一個字母表示以下的詞：

p = 括弧（parentheses）

e = 幂次（exponents）

m = 乘法（multiplication）

d = 除法（division）

a = 加法（addition）

s = 減法（subtraction）

在數學運算中，運算順序是從左到右，由最左側開始，找到需最先計算的算子，進行計算，再計算第二重要的算子……，例如以下的運算式：

${\displaystyle 4\times 2^{2}-(2+2^{2})}$,

第一個要處理的是括弧內的運算式，此處括弧內的運算式只有(2 + 2²)，在括弧內要最先計算的算式為2²，其數值為4，在計算後，剩下的運算式為：

${\displaystyle 4\times 2^{2}-(2+4)}$

接下來要處理的仍是括弧內的運算式，此處括弧內的運算式為(2 + 4) = 6，因此剩下的運算式為：

${\displaystyle 4\times 2^{2}-6}$

在計算完括弧內的運算式後，繼續從左到右找最先要計算的運算式，接下來要最先計算的運算式為幂次，對應的算式為2²，其數值為4，因此剩下的算式為

${\displaystyle 4\times 4-6\;}$.

接下來要計算的是乘法，${\displaystyle {{4}\times {4}}=16}$，因此算式變成

${\displaystyle 16-6\;}$

依運算順序，要考慮的是除法，不過沒有除法，再來要考慮的加法也沒有出現，因此要處理的是減法

${\displaystyle 16-6=10\;}$.

因此算式4 × 2² − (2 + 2²)的結果為10。

在中缀表示法中，運算順序非常重要，若運算順序錯誤，可能會算到錯誤的數值，只有每個運算都依正確的運算順序計算，才會有正確的結果。

算子需要運算數（運算元）的個數稱為元数[5]。算子可以依元数分為一元運算（一個運算元）、二元运算（二個運算元）及三元運算（三個運算元）等。