表面重力

由于 ${\displaystyle k^{a}}$ 是一个基灵矢量 ${\displaystyle k^{a}\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$ 隐含 ${\displaystyle -k^{a}\nabla ^{b}k_{a}=\kappa k^{b}}$。在座标 ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ 中 ${\displaystyle k^{a}=(1,0,0,0)}$。将前述公式以 ${\displaystyle v=t+r+2M\ln |r-2M|}$ 进行座标转换为爱丁顿－芬克尔斯坦座标使维度以 ${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dv^{2}+2dvdr+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$ 表示。

根据座标的一般转换，基灵矢量转换为 ${\displaystyle k^{v}=A_{t}^{v}k^{t}}$，而矢量 ${\displaystyle k^{a'}=(1,0,0,0)}$、${\displaystyle k_{a'}=\left(-1+{\frac {2M}{r}},1,0,0\right)}$。

考量到 b=v，代入 ${\displaystyle k^{a}\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$ 可得到微分方程序 ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-1+{\frac {2M}{r}}\right)=\kappa }$。

因此，带有质量 ${\displaystyle M}$ 的史瓦西解是 ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{4M}}}$。

克尔-纽曼度规的表面重力则表示为：

${\displaystyle \kappa ={\frac {r_{+}-r_{-}}{2(r_{+}^{2}+a^{2})}}={\frac {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}{2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}}}$,

其中 ${\displaystyle Q}$ 是电荷、${\displaystyle J}$ 是角动量。因此定义两个视界的位置是 ${\displaystyle r_{\pm }:=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}$，其中 ${\displaystyle a:=J/M}$。

静态黑洞的表面重力能被明确界定，这是因为每个静态黑洞都有一个基灵视界[13]。近年学界转而认定动态黑洞时空的表面重力不符合基灵矢量[14]。近年已有数字科学家发表数种不同定义，但尚未对动态黑洞的表面重力定义达成共识，如果其中一像是正确的话[15]。