能量均分定理

一粒子质量为m，速度为v，其（牛顿力学）动能为：

${\displaystyle H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),}$

其中v_x、v_y及v_z是速度v的直角坐标的分量。这里，H是哈密顿量，由于哈密顿表述是均分定理一般形式的中心，故下文将以其作为能量的符号。

由于能量是速度各分量的二次方，均分这三分量得每分量在热平衡时向平均动能提供½k_BT。因此粒子的平均动能为(3/2)k_BT，跟上面惰性气体的例子一样。

更普遍地，理想气体中的，总能量几乎全为（平移）动能：假定粒子无内自由度且运动不受其他粒子影响。均分因此预测有N个粒子的理想气体有平均总能量(3/2) N k_BT。

而气体的热容则为(3/2) N k_B，因此这样一摩尔气体的热容为(3/2)N_Ak_B=(3/2)R，其中N_A是阿伏伽德罗常数，而R则是气体常数。由于R ≈ 2 Cal/(mol·K)，均分预测理想气体的摩尔比热容约为3 Cal/(mol·K)。这个预测已被实验证实[1]。

从平均动能可以求出气体粒子的均方根速度v_rms：

${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},}$

其中M = N_Am是一摩尔气体粒子的质量。这个结果对很多应用方面都有用处，例如逸散用的格锐目定律为铀浓缩提供了一个方法[2]。

在另一个相近的例子中，有一粒子其主转动惯量I₁、I₂及I₃。它的旋转能量是：

${\displaystyle H^{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),}$

其中ω₁、ω₂及ω₃是角速度的主分量。使用跟平移同一套的论证，均分意味着每个粒子的平均旋转能量为(3/2)K_BT。同样地，均分使计算出分子均方根角速度成为可能[3]。

刚性粒子的滚翻——即是分子于溶液中的随机旋转——在核磁共振中观测到弛缓中有着重要的角色，尤其是在蛋白质核磁共振及剩余双极耦合中[4]。旋转渗透可被其他生物物理探测法所观测到，例如是萤光异向性、流动双折射及介电质光谱学[5]。

均分定理除可应用于动能外，还能被应用于势能计算：重要例子包括像弹簧这样的谐波振荡器，其二次势能为

${\displaystyle H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},\,}$

其中常数a描述弹簧的韧性，而q则是由平衡导出的。假若这样一个系统的质量为m，那么它的动能H^kin为½mv²=p²/2m，其中v及p=mv代表振荡器的速度和动量。联合这些项可得总能量[6]：

${\displaystyle H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}aq^{2}.}$

因此均分定理预测在热平衡时，振荡器有平均能量

${\displaystyle \langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B}T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,}$

其中角括号${\displaystyle \left\langle \ldots \right\rangle }$代表括号内的平均量[7] 。

这个结果对任何种类的谐波振荡器都是有效的，例如钟摆，一个振动中的粒子或是被动的电子振荡器。这样的振荡器在很多情况下都会出现；由均分可得，每个这样的振荡器都得到一个平均总能量k_BT并因此向系统热容提供k_B。这个可以被用于导出热杂音的公式[8] 及固体摩尔比热容的杜隆-珀蒂定律公式。后者在均分定理的历史中尤其重要。

图三：原子可以在晶格下于平衡位置附近振动。这样的振动占了晶体介电质热容的一大部分；对金属而言，电子也对热容有作用。

均分定理的一个重要应用是在于晶状固体的比热容。如此固体的每一个原子都能够在三个独立的方向下振荡，因此该固体可以被视为一个拥有各自独立的3N个简谐振子的系统，其中N为晶格中的原子数。由于每一个谐振子都有平均能量k_BT，所以固体的平均总能量为3Nk_BT，而比热容则为3Nk_B。如取N为阿伏伽德罗常数N_A，并使用R = N_Ak_B这个联系气体常数R及波兹曼常数k_B的关系式，可得固体摩尔比热容的杜隆-珀蒂定律的一个解释，定律指出晶格中每摩尔的原子热容为 3R ≈ 6 cal/(mol·K)。[9]

然而，由于量子效应的关系，这条定律在低温时并不准确；这也不符合实验导出的热力学第三定律，第三定律指出摩尔比热容于绝对零度时必为零[8]。艾尔伯特·爱因斯坦（1907年）及彼得·德拜（1911年）在基础上加入了量子效应，发展出一套更准确的理论[10]。

固体中每个原子的振动不是独立的，可以用一组组的耦合振子作为模型。如此振荡子的模型可以被分解成简振模，这跟钢琴弦的振动模态及管风琴的共振模态是相近的。[11]另一方面，均分定理被应用于这种系统时一般都会失败，因为正常模态间是没有能量交换的。在一个非常的情况下，模态独立且它们的能量独立地守恒。这个显示出有某种的能量混合，正式叫做遍历性，对于均分定理的成立是十分重要的。[12]

势能并不一定跟位置成二次关系的。不过，均分定理指出若能量对自由度x是s次齐次的（对一固定实数s而言），则该部份于热平衡时的平均能量为k_BT/s。

在重力下淀积的这个延伸有一个简单的应用。例如在啤酒里有时见到的薄雾能由一团团会散射光的蛋白质所组成[13]。一段时间以后，这些蛋白质团因受重力影响而向下沉淀，使得近底下的部份比顶端的薄雾更多。不过，一个向相合方向作用的过程中，粒子也会向上渗透回到酒瓶的顶部。一达到平衡状态时，就可以使用均分定理来断定某一浮力质量m_b的蛋白质团的平均位置。对一支瓶高无限的啤酒而言，重力势能可由下式求出

${\displaystyle H^{\mathrm {grav} }=m_{b}gz\,,}$

其中z为蛋白质团的高度，而g则为重力加速度。由于s=1的关系，蛋白质团的平均势能等于k_BT。因此，一个浮力质量为10MDa（大体上为病毒的大小）的蛋白质团会于平衡状态做出一股2cm高的薄雾。这样一种往平衡的淀积由梅森-韦弗尔方程所描述[14]。

通用均分定理是位力定理的一个延伸。位力定理于1870年被提出[35]，它明确指出

${\displaystyle {\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle },}$

其中t代表时间。两个关键性的分别在于位力定理联系的是平均的总和而不是个别的平均，而且跟温度T没有关系。另一个分别是位力定理的传统推导使用时间的平均，而均分定理则用相空间的平均。

理想气体给能量均分定理提供一个重要应用。也为每粒子的平均动能提供了公式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m}}\langle p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aligned}}}$

能量均分定理可被用于从古典力学中导出理想气体定律[3]。若q=(q_x,q_y,q_z)且p=(p_x,p_y,p_z)代表气体中一个粒子的位置矢量及动量矢量，而F为作用在该粒子上的净力，则

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigr \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned}}}$

其中第一条等式为牛顿第二定律，第二行用了哈密顿力学及均分公式。将系统中的N个粒子的所有加起来得

${\displaystyle 3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }}$

图五：一个粒子的动能起伏可以是非常大的，但均分定理允许了在任何温度下的平均能量计算。均分也提供了一个方法去导出理想气体定律，一条联系气体压力、体积及温度的方程序。（图中五个分子被填成红色以便追踪他们的行径，而其他颜色则无关重要。）

由牛顿第三定律及理想气体假设得，系统的净力是由它们的容器上的墙所施行的，而这个力可由气体的气压P所求得。因此

${\displaystyle -{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} ,}$

其中'dS为沿着容器墙的无限小面积组件。由于位置矢量q散度为

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,}$

而散度定理表明

${\displaystyle P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} =P\int _{\mathrm {volume} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,}$

其中dV为容器内无限小的体积，而V则为容器的总容量。

将这些等式结合得

${\displaystyle 3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=3PV,}$

即马上导出N个粒子理想气体定律

${\displaystyle PV=Nk_{B}T=nRT,\,}$

其中n=N/N_A为气体的摩尔数，而R=N_Ak_B则为气体常数。

一双原子气体可用被一韧度为a弹簧连接的两质量m₁及m₂作为模型，称为“刚性转子-谐波振荡器近似法”[19]。此系统的古典能量为

${\displaystyle H={\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},}$

其中p₁与p₂为两原子的动量，而q则为从平衡值得出的原子间距离的偏差。由于能量的每一自由度都为二次，并故此应向总平均能量提供½k_BT，向热容提供½k_B。因此一有N双原子分子的气体的热容被预测为7N·½k_B：p₁及p₂各提供三个自由度，q的延伸提供第七个。由此得一摩尔无其他自由度的双原子气体，其比热容应为(7/2)N_Ak_B=(7/2)R，而因此摩尔比热容应大概为7 cal/(mol·K)。但是双原子气体摩热比热容的典型实验结果约为5 cal/(mol·K)[23]，并于非常低温时跌至3 cal/(mol·K)。[24] 这个均分预测与实验摩尔热容值的不符，不能被更复杂的分子模型所解释，因为增加自由度只会增加预测比热值，而不会减少[25]。这个不符是需要物质量子理论的一个关键证据。

图六：蟹状星云的X射线可见光结合图像。在星云的中心有一颗高速旋转的中子星，其质量为太阳的一倍半但直径只有25公里（大概跟马德里一样大）。均分定理对预测如此中子星的性质很有作用。

均分定理被用于从牛顿力学中导出古典理想气体定律。但是相对性效应在某些系统中变得显著，例如是白矮星及中子星[7]，而此时理想气体定律一定要被稍作修改。均分定理为导出极度相对性理想气体提供了方便的途径[3]。在这样的个案中，一个单粒子的动能可由以下公式求得：

${\displaystyle H^{\mathrm {kin} }\approx cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.}$

以动量分量p_x取H的导数得公式：

${\displaystyle p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}=c{\frac {p_{x}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}}$

之后以同样的方式处理分量p_y及p_z。将三个分量全加起来得：

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\biggl \langle }c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}{\biggr \rangle }\\&={\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }\\&=3k_{B}T\end{aligned}}}$

其中最后一条等式则是均分定理公式的结果。因此，一极度相对性理想气体的平均总能量要比非相对性的大两倍：当有N个粒子时，总平均能量为3 N k_BT。

在一理想气体中，假设粒子只通过碰撞来相互作用。均分定理可以用于推导“非理想气体”的能量和压力，这气体中的粒子也通过守恒力与其他粒子相互作用，守恒力的势U(r)只受粒子间距离r影响[3]。要描述这个状况，首先将注意力集中于一个粒子，之后把其余的气体当球状对称分布看待。然后按惯例引入径向分布函数g(r)，使得从某固定粒子于距离r找到另一粒子的概率密度等于4πr²ρ g(r)，其中ρ=N/V为气体的平均密度[36]。可得某固定粒子跟其余气体的互相作用平均势能为

${\displaystyle \langle h^{\mathrm {pot} }\rangle =\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr}$。

气体的总平均势能因此为${\displaystyle \langle H^{pot}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle }$，其中N是气体中的粒子数；在加起所有粒子数目的过程中会把每个粒子算两次，所以需要用到½这个因子。

把动能及势能加起来，然后使用均分定理，可得能量方程

${\displaystyle H=\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{B}T+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr}$。

用一套相近的论证下[3]，可用于导出压力方程

${\displaystyle 3Nk_{B}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{3}U'(r)g(r)\,dr}$。

一非谐振器（跟简单谐波振荡器相对）的势能并不与延伸长度q（量度平衡点偏差的广义位置）成二次关系。这样的振荡器为均分定理提供了一个可作补充的观点[37][38]。简单例子中用的是势能函数，其形式为

${\displaystyle H^{\mathrm {pot} }=Cq^{s}}$ ，

其中C和S为任意实数。这些个案中，均分定律预测

${\displaystyle k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle }$ 。

因此，平均势能等于k_BT/s，而不像二次谐波振荡器那样等于k_BT/2（此时s=2）。

更广义地，一次元系统典型能量函数的有以延伸长度q表示的泰勒级数：

${\displaystyle H^{\mathrm {pot} }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n}}$

其中n须为非负整数式子方能成立。没有n=1的项是因为在平衡点上并无净力作用，所以能量第一导数为零。毋需包括n=0的项是因为在约定俗成下平衡位置的能量可订为零。此时，均分定律预测[37]：

${\displaystyle k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\sum _{n=2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n}\rangle }$ 。

相比以上引述的例子，均分定理公式

${\displaystyle \langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({\frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle }$

并不能把平均势能以已知常数来表示。

图七：一个粒子三次元空间内的典型布朗运动。

均分定理可用于从朗之万方程中导出一粒子的布朗运动[3]。根据该方程，一质量为m，速度为v的粒子的运动是由牛顿第二定律支配的

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {1}{m}}\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {v} }{\tau }}+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} ^{\mathrm {rnd} },}$

其中F^rnd为一代表着粒子及其周围分子的随机碰撞的随机力，而时间常数τ反映阻碍粒子在溶液中运动的阻力。阻力很多时候被写成F^drag =-γv，因此时间常数τ等于m/γ。

取方程与位置矢量r的点积，平均后，得布朗运动用的方程

${\displaystyle {\Bigl \langle }\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}{\Bigr \rangle }+{\frac {1}{\tau }}\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \rangle =0}$

（由于F^rnd跟位置矢量r不相关）。使用数学恒等式

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2}\right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)}$

及

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}},}$

布朗运动的基本方程可被转变成

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt}}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{B}T,}$

其中从最后的等式可由均分定理得平移动能：

${\displaystyle \langle H^{\mathrm {kin} }\rangle ={\Bigl \langle }{\frac {p^{2}}{2m}}{\Bigr \rangle }=\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{B}T}$。

以上${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$的微分方程（有适当的初始条件）可被整解得

${\displaystyle \langle r^{2}\rangle ={\frac {6k_{B}T\tau ^{2}}{m}}\left(e^{-t/\tau }-1+{\frac {t}{\tau }}\right)}$。

在短时标上，t <<τ，粒子的行动就像自由粒子一样：由指数函数的泰勒级数得，距离的平方大约以二次增长：

${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \approx {\frac {3k_{B}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}}$。

但是在长时标上，t >>τ，对数及常数项可被忽略，距离平方只以一次增长：

${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \approx {\frac {6k_{B}T\tau }{m}}t=6\gamma k_{B}Tt}$。

这描述了粒子随着时间的渗透。一条刚性子旋转渗透用的类似方程可用跟这个近似的方法导出。

均分定理及相关的位力定理在很早以前就已被用于天体物理学[39]。例如，位力定理可被用于由白矮星质量去估计恒星温度或其钱德拉塞卡极限[40][41]。

一颗恒星的平均温度可由均分定理估计[42]。由于大部份恒星都是球状对称，总重力势能可由积分法估算

${\displaystyle H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M(r)\,\rho (r)\,dr,}$

其中M(r)为半径r以内的质量而ρ(r)则是于半径r时的恒星密度；G代表万有引力常数，R为恒星总半径。假定整个恒星内的密度一致，该积分可得公式

${\displaystyle H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R}},}$

其中M为恒星总质量。因此一个单粒子平均势能为

${\displaystyle H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R}},}$

其中N为恒星内的粒子数目。由于大部分恒星都是由离子化的氢所组成的，N大概等于(M/m_p)，其中m_p为一个质子的质量。应用均分定理可得一个恒星温度的约值

${\displaystyle {\Bigl \langle }r{\frac {\partial H^{\mathrm {grav} }}{\partial r}}{\Bigr \rangle }=\langle -H^{\mathrm {grav} }\rangle =k_{B}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.}$

将太阳的质量及半径代入得太阳温度的大约值T等于一千四百万开尔文，跟其内核温度一千五百万开尔文非常接近。但是，太阳被这个模型假设的要复杂得多——它的温度及质量都随半径而变动甚大——而且如此极佳的切合度（≈7%相对误差）在一定情况下是偶然的[43]。

同一组方程可被用于断定巨型分子云中的恒星形成状态[44]。这样一个云的本地密度起伏可以引致一个很坏的情况，当中分子云会在自己的重力下向内倒塌。这样一个倒塌在当均分定理——或同样地位力定理——不再有效的时候发生，亦即当重力势能超越动能两倍的时候

${\displaystyle {\frac {3GM^{2}}{5R}}>3Nk_{B}T}$

设云的密度固定为ρ

${\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$

得恒星收缩的最小质量，金斯质量M_J

${\displaystyle M_{J}^{2}=\left({\frac {5k_{B}T}{Gm_{p}}}\right)^{3}\left({\frac {3}{4\pi \rho }}\right)}$

代入这样的云的典型观测值（T=150 K，ρ=2×10⁻¹⁶g/cm³）可得一为17个太阳质量的最小质量估值，跟恒星形成的观测一致。这个效应亦被称为金斯不稳定性，以在1902年发表这理论的英国物理学家詹姆士·金斯命名[45]。

均分定理的原公式化表述明确指出，在任何处热平衡状态的物理系统中，每一种粒子有着完全一样的平均动能(3/2)k_BT[46]。但事实上，这个结果仅适用于理想气体，并且可使用马克士威-波兹曼分布导出，方法如下。首先，我们先暂时只考虑粒子在z方向上的速度分布

${\displaystyle f(v_{z})={\sqrt {\dfrac {m}{2\pi k_{B}T}}}\;e^{\frac {-m{v_{z}}^{2}}{2k_{B}T}}}$

有了以上式子，便可以计算粒子在z方向上的方均速度

${\displaystyle \langle {v_{z}}^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(v_{z}){v_{z}}^{2}dv_{z}={\dfrac {k_{B}T}{m}}}$

由于粒子在x、y、z各方向上的速度互相独立且不互相影响，因此粒子的平均动能为

${\displaystyle \langle E_{k}\rangle ={\dfrac {3}{2}}m\langle {v_{z}}^{2}\rangle ={\dfrac {3}{2}}k_{B}T}$

注意，马克士威-波兹曼分布不应与波兹曼分布混淆，因为前者必须假设粒子的总能等于其平移动能，才能由后者导出。

更一般地说，能量均分定理明确指出任何只在总能量 ${\displaystyle H}$ 中只以一简单二次项 ${\displaystyle Ax^{2}}$ （此处 ${\displaystyle A}$ 为一常数）出现的自由度 ${\displaystyle x}$ ，于热平衡时有平均能量 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{B}T}$ 。在这个案中均分定理可从配分函数 ${\displaystyle Z(\beta )}$ 中导出，其中 ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$ ，为正则温度倒数[47]。从 ${\displaystyle Z}$ 的式子中，经变量 ${\displaystyle x}$ 取积分得因子

${\displaystyle Z_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ e^{-\beta Ax^{2}}={\sqrt {\frac {\pi }{\beta A}}}}$ ，

而跟这个因子有关的平均能量为

${\displaystyle \langle H_{x}\rangle =-{\frac {\partial \log Z_{x}}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {1}{2}}k_{B}T}$

跟均分定理指出的一致。

均分定理的一般证明可于很多统计力学的教科书中找到，包括微正则系综用[3][7] 及正则系综用[3][34] 的。它们都需要取系统相空间中的平均，而它是一个辛流形。

要解释这些推导，需要引入以下的记法。首先，相空间是由广义位置坐标q_j跟它们的共轭动量p_j一起描述的。量q_j完整描述系统位形，而量(q_j,p_j)一起则描述完整描述系统的状态。

第二，相空间的无限小体积

${\displaystyle d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}dp_{i}}$

需被引入以用于定义

${\displaystyle \Gamma (E,\Delta E)=\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}d\Gamma .}$

在这式子中，ΔE被假定为非常小的，ΔE<<E。同样地，Σ(E)被定义为相空间中能量被E低的总体积：

${\displaystyle \Sigma (E)=\int _{H<E}d\Gamma .}$

由于ΔE非常小，以下这两条积分式是等价的

${\displaystyle \int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\ldots d\Gamma ,}$

其中省略号代表被积函数。由此可得Γ与ΔE成正比

${\displaystyle \Gamma =\Delta E\ {\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}=\Delta E\ \rho (E),}$

此处ρ(E)为状态密度。由统计力学常用的定义得，熵S等于k_BlogΣ(E)，而温度被定义为

${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{b}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}}=k_{b}{\frac {1}{\Sigma }}\,{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}}$ 。

在正则系综中，系统正与一温度为T（以开尔文计算）的无限热库处与热平衡[3][34]。在相空间中每一态的概率由波兹曼因子乘上重整化因子${\displaystyle {\mathcal {N}}}$得出，而重整化因子的值是为使总概率成一而设的。

${\displaystyle {\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma =1,}$

其中β=1/k_BT。为一相空间变量x_k（可为q_k或p_k）使用分部积分法得方程

${\displaystyle {\mathcal {N}}\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k}=b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}d\Gamma =1,}$

其中dΓ_k=dΓ/dx_k ，即第一个积分并没有取x_k积分的。第一项通常为零，这是因为在极限下x_k为零，或因为能量在那极限下趋向无限。此时，可马上得正则系综的均分定理

${\displaystyle {\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}\,d\Gamma ={\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta }}=k_{B}T.}$

这里被${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$符号化的平均是正则系综中的正则平均。

在微正则系综中，系统与外界隔绝，或只是跟外界很弱的耦合起来[7]。因此，其总能量实际上是恒定的；要明确的话，则需指出总能量H局限于E及E+ΔE之间。对某固定能量E及其范围ΔE而言，有一相空间区域Γ，在内系统有该能量且每一态在该相空间区域的几率均等。已知该等定义，相空间变量x_m（可为q_k或p_k）的均分平均为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }&={\frac {1}{\Gamma }}\,\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma \\&={\frac {\Delta E}{\Gamma }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma \\&={\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial \left(H-E\right)}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma ,\end{aligned}}}$

此处能得出最后一等式是因为E乃一常数，并不受x_n影响。使用分部积分法得方程

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (H-E)}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma &=\int _{H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigl (}x_{m}(H-E){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H<E}\delta _{mn}(H-E)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(E-H)\,d\Gamma ,\end{aligned}}}$

这是由于第一行右方第一项为零的缘故（该项能被写成在H=E的超曲面上H-E的一个积分）。

将该结果代入前面的方程可得

${\displaystyle {\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(E-H\right)\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho }}}$ 。

由于${\displaystyle \rho ={\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}}$，可得均分定理

${\displaystyle {\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac {1}{\Sigma }}{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}k_{B}T}$ 。

如是者就导出了均分定理的通用公式

也就是在之前应用中如此有用的那条公式。

均分定律只对处于热平衡的遍历系统有效，这意味着同一能量的态被迁移的可能性必然一样[7]。故此，系统一定要可以让它所有各形态的能量能够互相交换，或在正则系综中跟一热库一起。已被证明为遍历的系统数量不多；雅科夫·西奈的硬球系统是一个有名的例子[48] 。让隔离系统保证其遍历性——因而，均分定理——的需求已被研究过，同时研究还推动了动力系统混沌理论的发展。一混沌哈密顿系统不一定是遍历系统，尽管假定它是通常也足够准确[49]。

有时候能量并不由它的各种形式所摊分，且此时均分定理在微正则系综不成立，耦合谐波振荡器系统就是在这状况下常被引用的一个例子[49]。如果系统跟外界隔绝，那每一个正常模态的能量是恒定的；能量并不由一个模态传递到另一模态的。因此在这样一个系统中均分定理无效；每一个模态能量的量都被它的起始值所固定。如果能量函数中有着足够强的非线性量的时候，能量可能可以在正常模态中传递，使系统走向遍历并使均分定律有效。然而，柯尔莫哥洛夫 - 阿诺德 - 莫泽定理明确指出除非扰动够强，否则能量不会交换；如扰动小的话，最低限度能量会继续受困于一些模态中。

当热能k_BT比能阶间的差要小得多的时候，均分法则就会失效。均分此时不再成立，是因为能阶组成平滑连续能谱的这个假设跟实际情况不近似，而这假设在上面均分定理推导中有用到[3][7]。历史上，古典均分定理在解释比热及黑体辐射时的失败，对表明需要一套物质及辐射的新理论（即量子力学及量子场论）起了关键性的作用[10]。

图十：以温度表示量子机械振荡器平均能量（红线）的对数-对数图像。为比较起见，由均分定理预测的值用了黑线来表示。在高温时，两者几乎完全吻合，但到了当k_BT<<hν的低温时，量子值的下跌要急得多。这样就解决“紫外灾变”的问题：在某固定温度时，高频模态（即hν>>k_BT时）的能量几乎为零。

要说明均分的失效，可考虑一单（量子）谐波振荡子的平均能量，古典个案在上文已讨论过。它的量子能阶为E_n=nhν，其中h为普朗克常数，ν为振荡子的基本频率，而n则为一整数。某指定能阶正被置于正则系综的概率可由其波兹曼因子得出

${\displaystyle P(E_{n})={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z}}}$，

其中β=1/k_BT，而分母中的Z为配分函数，此处为一等比级数

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu }}}}$。

则其平均能量为

${\displaystyle \langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}}$。

将Z的式子代入得最后结果[7]：

${\displaystyle \langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}}}$。

于高温时，当热能k_BT比能阶差hν大得多的时候，指数变量βhν比一要小得多，所以平均能量成了k_BT，跟均分定理一致（见图十）。然而于低温时，当hν>>k_BT的时候，平均能量走向零——高频能阶被“冻结”了（见图十）。作为另一例子，氢原子内部的受激电子态在室温下并不提供任何比热，这是由于热能k_BT（大概是0.025 eV）比最低及下一高能阶之间的差（大概是10 eV）要小得多的缘故。

相近的考量可用于任何能阶差比热能大得多的状况下。例如，艾尔伯特·爱因斯坦就是用这套论证解决黑体辐射的紫外灾变[50]。由于在一封闭容器下的电磁场有无限个独立模态，每一个都能被当作谐波振荡器看待，因而就形成了悖论。如果每一个电磁模态皆有平均能量k_BT，容器内的能量将为无限大[50][51]。然而，根据以上的论证，高ω模态的平均值当ω趋向无限时趋向零；而且描术模态实验中能量分布的普朗克黑体辐射定律，也是根据同一组论证所中得出的[50]。

此外，更微妙的量子效应可引起均分定理的修正，例如全同粒子及连续对称。全同粒子效应可在非常高密度且低温时有着显著的效果。比方说金属的价电子可以有几个电子伏的平均能量，正常情况一般对应数万开尔文的温度。如此的状态，密度高得让泡利不兼容原理使得古典门径无效化，被称为简并态费米子气体。这种气体对白矮星及中子星的结构很重要。在低温时，玻色-爱因斯坦凝聚（此凝聚中大量全同粒子占据了低能量态）的费米子模拟能够形成；这种超流体电子是引起超导现象的成因。