摆

若最高处（ ${\displaystyle v=0}$ ）的绳子和最低处（速度最大值）的绳子的角度为 ${\displaystyle \theta }$，符合：

• ${\displaystyle \theta \leq 5^{\circ }}$

则可使用下列公式算出它的振动周期。

• ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$（ ${\displaystyle L}$ 为摆长； ${\displaystyle g}$ 为当地重力加速度）

一摆长为 ${\displaystyle 1}$ 公尺的单摆，于地表处作小角度摆动可近似为简谐运动，周期 ${\displaystyle T\approx 2.0s}$，这种单摆称之为秒摆。

一单摆摆锤正在摆荡最高处(此时 ${\displaystyle v=0}$ )，绳和铅直线有夹角 ${\displaystyle \theta }$，绳长为 ${\displaystyle L}$，相对于平衡点的位移为 ${\displaystyle x}$

此物体受下列力的影响（下列说明错误，绳子的张力是因为摆锤重力引起，任何一瞬间摆锤法向（径向）合力为零，但切线加速度为 ${\displaystyle -g\sin \theta }$ ）

• 绳子之拉力大小 ${\displaystyle F}$
• 重力大小 ${\displaystyle F_{g}=mg}$

绳子的拉力 ${\displaystyle F}$ 有分力

• ${\displaystyle F\cos \theta =mg}$
• ${\displaystyle F\sin \theta =kx}$

${\displaystyle \because {\underset {\theta \to 0}{\mathop {\lim } }}\,\cos \theta =1}$
${\displaystyle \therefore F\approx m_{G}g}$
${\displaystyle F\sin {\theta }=m_{G}g\left({\frac {x}{L}}\right)=kx}$
解得 ${\displaystyle k={\frac {m_{G}g}{L}}}$

代入 ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}}{k}}}}$

得到 ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}L}{m_{G}g}}}}$

根据广义相对论可知，${\displaystyle m_{I}=m_{G}\,}$

故 ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

sin θ 取为θ的误差。

取 ${\displaystyle L}$ 为绳的长度， ${\displaystyle \theta }$ 为绳和垂直平面的线的交角，${\displaystyle \theta _{0}}$ 为 ${\displaystyle \theta }$ 的最大值，${\displaystyle m}$ 为锤的质量，${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$ 表示角度加速度 ${\displaystyle \alpha ={\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}}$ 。

忽略空气阻力以及绳的弹性、重量的影响：

• 锤速率最高是在 ${\displaystyle \theta =0}$ 时。当锤升到最高点，其速率为 0。绳的张力没有对锤做功，整个过程中动能和位能的和不变，机械能守恒。
• 运动方程为：

${\displaystyle mL{\ddot {\theta }}=-m{\rm {g}}\sin \theta }$

注意到不论θ的值为何，运动周期和锤的质量无关。

当 ${\displaystyle \theta }$ 相当小的时候，${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$，因此可得到一条二阶齐次常系数微分方程。此为一简谐运动，周期 ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$。

准确的运动周期不可以用基础函数求得。考虑微分方程：

${\displaystyle {{\rm {d}}t \over {\rm {d}}\theta }={1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$

${\displaystyle T=\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}=4\left(\theta _{0}\rightarrow 0\right)}$

${\displaystyle T=4{1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}\,{\rm {d}}\theta }$

将上式重写成第一类椭圆函数的形式：

${\displaystyle T=4{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}F\left({\sin {\theta _{0} \over 2}},{\pi \over 2}\right)}$

其中${\displaystyle F(k,\phi )=\int _{0}^{\phi }{1 \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}{\theta }}}}\,{\rm {d}}\theta .}$

周期可以用级数表示成：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over {\mathrm {g} }}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right]}$

${\displaystyle =2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]}$

冲击摆是来用计算子弹速度的实验室仪器。它的原理为：对象碰撞前后动量守恒，摆运动时能量守恒。

冲击摆和普通摆相似，特别之处它的锤会和射入子弹产生完全非弹性碰撞，即碰撞后两者会合为一。

将子弹射向停止的锤，使锤和子弹合在一起摆动。设锤质量为${\displaystyle m_{p}\,}$，子弹质量和初速度分别为${\displaystyle m_{b}\,}$和v，锤和子弹碰撞后的速度为u。

以下是子弹速度的计算方法：

由动量守恒定律，

${\displaystyle m_{b}\times v+m_{p}\times 0=(m_{b}+m_{p})\times u}$

由能量守恒定律，

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(m_{b}+m_{p})u^{2}=(m_{b}+m_{p})gh}$

解得 ${\displaystyle v={\frac {(m_{b}+m_{p}){\sqrt {2gh}}}{m_{b}}}}$。

和台车和倒单摆组成的系统

倒单摆有许多不同的架构，常见的有二种。

最简单的是无质量的直杆一端接在固定的枢纽上，另一端链接重量，此架构类似一般单摆，但因为重量在枢纽点上方，直杆在重量下方，需支持重物不落下，因此会将单摆的线改为有刚性的直杆。

另外一种是将倒单摆放在可以一维水平运动的台车上，通过台车的水平运动来控制摆的位置。

倒单摆在摆直立朝上时可以平衡，不过是不稳定平衡，需要通过控制系统才能维持平衡。

锥摆的路径是平面上圆。摆运动时，绳的路径为一个圆锥面。这是圆周运动。

当质量不集中或不规则的物体以转轴吊起摆动时，此摆称作复摆（物理摆）。由于有质量分布的缘故，周期跟刚性物体重心对转轴的转动惯量（I）有关。根据平行轴定理及可以求出小角度复摆周期为 ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}}$

双摆系统的一例

双摆系统是混沌的。

和双摆一样，磁性摆系统是混沌的。

傅科摆的移动可作为地球自转的证据。

摆钟。

为了减少温度变化的影响，有不同的设计：

• 栅形补偿摆（Gridiron Pendulum）：以不同金属（钢和铜）配搭，保持摆的长度不变 （页面存档备份，存于）
• Graham's pendulum：有一个水银管柱，保持摆的重心不变
• 以木制摆 （页面存档备份，存于）
• Ellicott compensated pendulum：用多个摆的结构配合