正常重力

法国数学家克莱罗在其发表于1743年的著作中给出了地球的几何扁率 ${\displaystyle f}$ 与重力扁率 ${\displaystyle f^{*}}$ 之间的对应关系，即克莱罗定理。[9]在顾及至扁率的平方项的情况下，该定理可表述为：

${\displaystyle f+f^{*}={5 \over 2}{\omega ^{2}b \over \gamma _{e}}(1+{9 \over 35}{e'}^{2})}$

重力扁率 ${\displaystyle f^{*}}$ 的定义与几何扁率类似，其由椭球赤道处的重力 ${\displaystyle \gamma _{e}}$ 和椭球极点处的重力 ${\displaystyle \gamma _{p}}$ 决定 ：[8]^:76

• ${\displaystyle f^{*}={\gamma _{p}-\gamma _{e} \over \gamma _{e}}}$
• ${\displaystyle \gamma _{e}={GM \over a^{2}}\left(1+m+{3 \over 7}{e'}^{2}m\right)}$
• ${\displaystyle \gamma _{p}={GM \over ab}\left(1-{3 \over 2}m-{3 \over 14}{e'}^{2}m\right)}$

其中 ${\displaystyle m={\omega ^{2}a^{2}b \over GM}}$[8]^:69，且有 ${\displaystyle {\omega ^{2}b \over \gamma _{e}}=m+{3 \over 2}m^{2}}$[8]^:76。

克莱罗定理给出了椭球赤道处的正常重力值和极点处的正常重力值，而椭球面上其他纬度的正常重力则可由正常重力公式计算得到，这一公式由索米里安在1929年给出：[2][8]^:70

${\displaystyle \gamma ={a\gamma _{p}\sin ^{2}\beta +b\gamma _{e}\cos ^{2}\beta \over {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\beta +b^{2}\cos ^{2}\beta }}}}$

其中 ${\displaystyle \beta }$ 是椭球面上某点的归化纬度，顾及到大地纬度 ${\displaystyle \varphi }$ 与归化纬度 ${\displaystyle \beta }$ 存在如下转换关系：

${\displaystyle \tan \beta ={b \over a}\tan \varphi }$

则正常重力公式也可以表达成大地纬度 ${\displaystyle \varphi }$ 的函数：

${\displaystyle \gamma ={a\gamma _{e}\cos ^{2}\varphi +b\gamma _{p}\sin ^{2}\varphi \over {\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\varphi +b^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$

正常重力公式也可以展开为几何扁率 ${\displaystyle f}$ 的级数，其截断形式为：[8]^:77

${\displaystyle \gamma =\gamma _{e}(1+f_{2}\sin ^{2}\varphi +f_{4}\sin ^{4}\varphi )}$

其中的系数为：

• ${\displaystyle f_{2}=-f+{5 \over 2}m+{1 \over 2}f^{2}-{26 \over 7}fm+{15 \over 4}m^{2}}$
• ${\displaystyle f_{4}=-{1 \over 2}f^{2}+{5 \over 2}fm}$

这一公式也可写为：

${\displaystyle \gamma =\gamma _{e}(1+f^{*}\sin ^{2}\varphi -{1 \over 4}f_{4}\sin ^{4}2\varphi )}$

其中的 ${\displaystyle f^{*}=f_{2}+f_{4}}$ 为上述提到的重力扁率。

正常重力公式还可以闭合形式表达：[10]^:4-1

${\displaystyle \gamma =\gamma _{e}{1+k\sin ^{2}\varphi \over {\sqrt {1-e^{2}sin^{2}\varphi }}}}$

其中的系数 ${\displaystyle k}$ 为：

${\displaystyle k={b\gamma _{p}-a\gamma _{e} \over a\gamma _{e}}}$

采用不同的椭球参数和不同的表达形式，正常重力公式可以有不同的数值计算形式，常用的几条公式包括：

说明	时间	公式	精度	参考文献
由国际大地测量协会推荐使用	1930年	${\displaystyle \gamma =9.780\,490\,(1+0.005\,2884\sin ^{2}\varphi -0.000\,0059\sin ^{4}2\varphi )\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$		[11]:78
由国际大地测量与地球物理联合会推荐使用 使用于GRS80坐标系	1979年	${\displaystyle \gamma =9.780\,327\,(1+0.005\,3024\sin ^{2}\varphi -0.000\,0058\sin ^{4}2\varphi )\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$	${\displaystyle 0.1\,{\text{mgal}}}$	[7]
使用于WGS84坐标系	1984年	${\displaystyle \gamma =9.780\,325\,3359\left[{\frac {1+0.001\,931\,852\,646\,396\sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-0.006\,694\,379\,990\,141\sin ^{2}\varphi }}}\right]\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$		[10]:4-1

在椭球面外部不远处，其正常重力 ${\displaystyle \gamma _{h}}$ 可以在其沿法线到椭球面上投影处展开为正常高 ${\displaystyle h}$ 的级数：[8]^:78

${\displaystyle \gamma _{h}=\gamma +{\partial \gamma \over \partial h}h+{1 \over 2}{\partial ^{2}\gamma \over \partial h^{2}}h^{2}+\cdots }$

由广义布隆斯方程，椭球面的外部空间的重力梯度与椭球面（水准面）的平均曲率半径 ${\displaystyle J}$ 的关系为：[8]^:78

${\displaystyle {\partial \gamma \over \partial h}=-2\gamma J-2\omega ^{2}=-{2\gamma \over a}\left(1+f+m-2f\sin ^{2}\varphi \right)}$

又二次导数 ${\displaystyle \partial ^{2}\gamma /\partial h^{2}}$是微小量，可以将其近似近似于在球面外部微分（即以半长轴 ${\displaystyle a}$ 代替 ${\displaystyle r}$），得到：[8]^:78

${\displaystyle {\partial ^{2}\gamma \over \partial h^{2}}={6GM \over a^{4}}={6\gamma \over a^{2}}}$

得到正常重力的向上延拓公式为：[8]^:79

${\displaystyle \gamma _{h}=\gamma \left[1-{2 \over a}\left(1+f+m-2f\sin ^{2}\varphi \right)h+{3 \over a^{2}}h^{2}\right]}$

上式的数值形式近似为：[5]^:27

${\displaystyle \gamma _{h}=\gamma -0.3086h+0.72\times 10^{-7}h^{2}}$