半长轴

在太空动力学，以圆或椭圆轨道环绕中心天体运转的小天体的轨道周期${\displaystyle T}$，是：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}$

此处：

${\displaystyle a}$，是轨道的半长轴

${\displaystyle \mu }$是标准重力参数

无论离心率是如何，半长轴相同的椭圆都有相同的轨道周期。

在天文学，是轨道的轨道元素中最重要的，他决定了轨道周期。对太阳系内的天体，半长轴与轨道周期的关系由克卜勒第三定律（原本只是经验公式）来描述：

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}$，

此处T是周期，单位为年；a是半长轴，单位为AU。这个形式就是牛顿的二体问题简化后的形式：

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}$，

此处G是重力常数，M是中心天体的质量，而m是轨道上天体的质量。通常，当中心天体的值量远大于环绕的天体时，m的质量可以忽略不计。座着这样的假设和简化之后，克卜勒发现的以天文单位简化的形式就出现了。

值得注意的是，在轨道上的天体和主要的天体环绕着质心运动的路径都是椭圆形。在天文学上的半长径总是主、伴两星之间的距离，因此行星的轨道参数都是以太阳为中心的项目。在"主体为中心"和"绝对"轨道之间的差别通过对地月系统的认是说明可以有更清楚的认识。质量的比是81.30059，地心的月球轨道半长轴是384,400公里；另一方面，"质心"的月球轨道半长轴是379,700公里，两着的差别是4,700公里。月球相对于质心的平均轨道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，两者之和是1.022公里/秒；同样的，以地心的半长轴得到的月球轨道速度也是1.022公里/秒。

经常会说半长轴是主伴两天体的平均距离，其实这样说是不够精确的，这与如何取得平均值有关。

• 对偏近点角（q.v.）的平均距离的确就是半长轴。
• 对真近点角（从焦点上测量的真实轨道角度）的结果，说也奇怪，是轨道半短轴：${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}$。

• 最后，是对平近点角（以角度表示，经过近心点之后所经历轨道周期的分数），是对时间的平均数（通常是对门外汉所谓的"平均"）：${\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!}$。

椭圆的平均半径，是以几何上的中心来测量的，其值为${\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}\,\!}$。

时间的平均值与半径成反比，${\displaystyle r^{-1}\,\!}$，是${\displaystyle a^{-1}\,\!}$。

在太空动力学半长轴${\displaystyle a}$，可以从轨道状态矢量得到：

${\displaystyle a={-\mu \over {2\epsilon }}}$（椭圆轨道）

${\displaystyle a={\mu \over {2\epsilon }}}$（双曲线弹道）

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}}$（特殊轨道能量）

${\displaystyle \mu =GM}$（标准重力参数）

此处：

• ${\displaystyle v}$，是从速度矢量得到的轨道上物体的轨道速度，
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$，是在笛卡尔坐标系上、相对于位置矢量用于计算的轨道元素（即，对环绕地球的物体是以地球中心和赤道为基准，或对环绕太阳的天体是以太阳中心和黄道为基准），
• ${\displaystyle G}$，是重力常数，
• ${\displaystyle M}$，是中心天体的质量。

对特定的中心天体和总比能，无论离心率是多少，半长轴是一个定值。换言之，对特定的一个中心天体和半长轴，具有的总比能是一个定值。