标准矩

设X为一随机变量，其几率密度函数为f、平均值为 ${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$ (一阶原点矩)，则第k阶标准矩为${\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}\!}$，[2] 其中${\displaystyle \mu _{k}}$是第k阶中心矩：

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \sigma ^{k}}$为标准差的k次方：

${\displaystyle \sigma ^{k}={\Bigl (}{\sqrt {\mathrm {E} [(X-\mu )^{2}]}}{\Bigr )}^{k}}$

以通式表示：

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{k}={\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{k/2}}}}$

• 中心矩为k次齐次函数：${\displaystyle \mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X)}$
• 标准矩具有缩放不变性。
• 由于上述标准矩的定义中将矩的因次消除了，因此标准矩为无因次量。

以下列出前4个标准矩：

阶数 k	定义	说明
1	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}={\frac {\mu _{1}}{\sigma ^{1}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{1}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{1/2}}}=0}$	一阶标准矩恒为0， 因为一阶中心矩恒为0。
2	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{2/2}}}=1}$	二阶标准矩恒为1， 因为二阶中心矩即为变异数${\displaystyle \sigma ^{2}}$。
3	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}}$	三阶标准矩用于定义偏度。
4	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{4/2}}}}$	四阶标准矩用于定义峰度。

• 中心矩
• 矩

1. Ramsey, James Bernard; Newton, H. Joseph; Harvill, Jane L. . . Duxbury/Thomson Learning. 2002-01-01: 96. ISBN 9780534371111 （英语）.
2. Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-03-30]. （原始内容存档于2022-01-27） （英语）.