矩 (数学)

设随机变量（或统计量，下同）${\displaystyle X}$的概率密度函数为${\displaystyle f(x)}$。

对于离散型随机变量，在存在的前提下，其相对于值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$阶矩为：

${\displaystyle \mu _{n}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i})}$

对于连续型随机变量，在存在的前提下，其相对于值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$阶矩为：

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx}$

特别地，当${\displaystyle c=0}$时称之为原点矩，当${\displaystyle c=E(X)}$时称之为中心矩。

随机变量的期望値定义为其1阶原动差：

${\displaystyle E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx}$

在变异数等定义中，期望值也称为随机变量的“中心”。显然，任何随机变量的1阶主动差为0。

随机变量的方差定义为其2阶主动差：

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x-E(x)\right]^{2}\,f(x)\,dx}$

随机变量的偏态定义为其3阶主动差：

${\displaystyle S(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{3}\,f(x)\,dx}$

随机变量的峰态定义为其4阶主动差：

${\displaystyle K(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{4}\,f(x)\,dx}$

矩常常通过样本矩

${\displaystyle \mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}}$

来估计。此方法不需要先估计其概率分布。

• 主动差
• 矩生成函数

• Mathworld Website （页面存档备份，存于）

1. 龚曙明. . 清华大学出版社有限公司. 2005: 91 [2023-07-26]. ISBN 9787810825863. （原始内容存档于2023-07-26）.
2. 国家教育研究院. . 2014: 元照出版公司. : 259 [2023-07-26]. ISBN 9789860440454. （原始内容存档于2023-07-26）.
3. 国家教育研究院. . 元照出版公司. 2015: 133 [2023-07-26]. ISBN 9789860465402. （原始内容存档于2023-07-26）.