有限应变理论

連續體的形變

位移梯度張量（deformation gradient tensor）${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$和形變前的組態以及目前的組態有關，可以從單位向量${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$和${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$中看出，因此其為二點張量。

可以定義二種位移梯度張量。

假設${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$有連續性，則${\displaystyle \mathbf {F} }$存在逆元素${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$，其中${\displaystyle \mathbf {H} }$為空間位移梯度張量（spatial deformation gradient tensor）。 根據隐函数定理[1]，其雅可比判別式${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)}$是非奇點，也就是${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$。

物質位移梯度張量（material deformation gradient tensor）${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$表示映射函數或是泛函關係${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$梯度的二維張量（ 映射函數或是泛函關係${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$描述連續介質的運動）。材料位移梯度張量可以說明位置向量為${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$的物質點的局部形變（也就是相對鄰近點的形變），其作法是對一個點的物質線元素進行线性映射，從原始組態映射到形變後的組態，其中也是假設映射函數${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$的連續性，也就是其為${\displaystyle \mathbf {X} }$和時間${\displaystyle t\,\!}$的可微函数，也就是其形變不會讓crack或是void打開或是關閉。因此可得

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

• 无限小应变理论
• 应变协调性
• 曲線坐標
• 應力量測
• 應變分區

• Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica （页面存档备份，存于）