位移場

用${\displaystyle \mathbf {X} }$代替${\displaystyle P_{i}}$，用${\displaystyle \mathbf {x} }$代替${\displaystyle p_{i}\,\!}$，這二個都是從坐標系統原點到對應點的向量，可得位移向量的Lagrangian描述法：

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

其中${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$是定義空間（局部参考框架）坐標系統基的正交單位向量。

若用物質坐標表示位移場，${\displaystyle \mathbf {u} }$會是${\displaystyle \mathbf {X} }$的函數，位移場是：

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$

其中${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$是表示剛體移動的位移向量。

位移向量相對物質坐標的偏导数可得物質位移梯度張量${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$。可得

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}}$$

其中${\displaystyle \mathbf {F} }$是物質位移梯度張量，而${\displaystyle \mathbf {R} }$為旋轉。

在Eulerian描述法下，未變形組態的粒子${\displaystyle P}$，延伸到其變形組態的向量為位移向量：

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$$

其中${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$是定義物質坐標系統的基的正交單位向量。

若用空間坐標表示位移場，${\displaystyle \mathbf {U} }$會是${\displaystyle \mathbf {x} }$的函數，位移場是：

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

空間導數，也就是位移向量相對空間坐標的偏导数，即為空間位移梯度張量${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$，可得

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,}$$

其中${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H} }$空間位移梯度張量。

${\displaystyle \alpha _{Ji}}$是物質坐標和空間坐標的單位向量${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$及${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$的方向餘弦，因此

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

${\displaystyle u_{i}}$和${\displaystyle U_{J}}$的關係為

$${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

已知

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$

因此

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

常常會疊合變形組態及未變形組態的坐標系統，是在${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$下的結果，而方向餘弦變成克罗内克δ函数

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

在材料（未變形）的坐標裡，位移可以表示為：

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$$

在空間（已變形）的坐標裡，位移可以表示為：

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$