投射模

投射模最直接的刻划是一个自由模的直和项；换言之，一个模 ${\displaystyle P}$ 是投射模，若且唯若存在另一个模 ${\displaystyle Q}$ 使得 ${\displaystyle F:=P\oplus Q}$ 是自由模。此时 ${\displaystyle P}$ 是 ${\displaystyle F}$ 的一个投影态射的项。

较容易操作也较符合范畴论思想的定义是利用提升性质。模 ${\displaystyle P}$ 是投射模，若且唯若对任何模满射 ${\displaystyle f:N\twoheadrightarrow M}$ 及模态射 ${\displaystyle g:P\rightarrow M}$，存在模态射 ${\displaystyle h:P\rightarrow N}$ 使得 ${\displaystyle f\circ h=g}$（请留意：在此不要求唯一性）。用交换图表现则更明了：

此定义的优势在于它可以推广到阿贝尔范畴，从而引至投射对象的概念，在此并不需要考虑自由对象。反转箭头则得到对偶概念内射模。

另一种在探讨Ext函子时特别有用的表述如下：模 ${\displaystyle P}$ 是投射模，若且唯若任何正合串行

${\displaystyle 0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0}$

都诱导出正合串行

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M')\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M)\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M'')\longrightarrow 0}$

换言之，${\displaystyle \mathrm {Hom} (P,-)}$ 是正合函子；实则对任何模 ${\displaystyle M}$，函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,-)}$ 总是左正合的，而投射性相当于右正合性。由此立刻得到投射模的同调刻划：${\displaystyle P}$ 是投射模若且唯若

${\displaystyle \forall i>0,\;\mathrm {Ext} ^{i}(P,-)=0}$