托勒密定理

1. 设ABCD是圆内接四边形。
2. 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
3. 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
4. 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD相似于△KBC。
5. 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；
6. 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；
7. 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA；
8. 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。即得證

设弦AB，BC及CD对应的圆周角分别为${\displaystyle \alpha }$， ${\displaystyle \beta }$及 ${\displaystyle \gamma }$，外接圆的半径为${\displaystyle R}$，则有${\displaystyle AB=2R\sin \alpha }$，${\displaystyle BC=2R\sin \beta }$，${\displaystyle CD=2R\sin \gamma }$，${\displaystyle AD=2R\sin(\alpha +\beta +\gamma )}$，${\displaystyle AC=2R\sin(\alpha +\beta )}$及${\displaystyle BD=2R\sin(\beta +\gamma )}$。于是，原托勒密等式化为

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma )}$。

现在，只需用和差化积公式，即可推得上式两边都等于${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma +\cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma }$。即得證。

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式： ${\displaystyle (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)}$ ，两边取模，运用三角不等式得${\displaystyle \|(a-b)(c-d)\|+\|(a-d)(b-c)\|\geq \|(a-c)(b-d)\|}$。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。因此托勒密定理得证。

复数证明中的复数可以换成赋范向量空间中的向量。这说明了定理中的四点不一定限于同一平面。

用几何方法也可以同时证明托勒密定理以及它的逆定理。设${\displaystyle ABCD}$ 为任意一个凸四边形。作三角形${\displaystyle APB}$ 与三角形${\displaystyle DCB}$ 顺相似，则会有：

${\displaystyle \angle ABP=\angle DBC}$（红色角）

因此，

${\displaystyle \angle ABD=\angle PBC}$

同时，根据相似三角形的性质还有：

${\displaystyle {\frac {AB}{DB}}={\frac {PB}{CB}}}$

由此可知三角形${\displaystyle ABD}$ 与三角形${\displaystyle PBC}$ 也是顺相似三角形。这两个顺相似关系说明：

${\displaystyle AB\cdot CD=AP\cdot BD}$

${\displaystyle AD\cdot BC=PC\cdot BD}$

两式相加，得到：

${\displaystyle AB\cdot CD+AD\cdot BC=(AP+PC)\cdot BD\geqslant AC\cdot BD}$

等号成立当且仅当${\displaystyle A}$、${\displaystyle P}$、${\displaystyle C}$三点共线，也就等价于${\displaystyle \angle BAC=\angle BAP=\angle BDC}$，${\displaystyle \angle BCA=\angle BCP=\angle BDA}$ 因此有

${\displaystyle \angle ABC+\angle ADC=\angle ABC+\angle ADB+\angle BDC=\angle ABC+\angle PCB+\angle BAP}$

${\displaystyle =\angle ABC+\angle BAC+\angle BCA=\pi }$

即是等价于${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$四点共圆。因此命题得证。[1]

使用反演方法，可以得出托勒密定理与三角不等式互为对偶命题的结论。事实上，设有凸四边形${\displaystyle ABCD}$内接于圆，那么以其中一点${\displaystyle D}$为中心，以半径${\displaystyle r}$作反演，则圆变为不过点${\displaystyle D}$ 的直线，点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$ 变为这条直线上的三点： ${\displaystyle A'}$、${\displaystyle B'}$、${\displaystyle C'}$。这三点之间有：

${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'\qquad \qquad \qquad (*)}$

而反演变换中的长度关系为：

${\displaystyle A'B'=AB\cdot {\frac {DA'}{DB}}=AB\cdot {\frac {r^{2}}{DA\cdot DB}},\qquad \,B'C'=BC\cdot {\frac {r^{2}}{DC\cdot DB}},\qquad \,A'C'=AC\cdot {\frac {r^{2}}{DA\cdot DC}}}$

代入${\displaystyle (*)}$ 式就得到：

${\displaystyle AB\cdot {\frac {r^{2}}{DA\cdot DB}}+BC\cdot {\frac {r^{2}}{DC\cdot DB}}=AC\cdot {\frac {r^{2}}{DA\cdot DC}}}$

通分，并除以${\displaystyle r^{2}}$，就可得到：

${\displaystyle AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD}$

而如果${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$四点不共圆的话，那么以${\displaystyle D}$ 为中心反演之后的三个点${\displaystyle A'}$、${\displaystyle B'}$、${\displaystyle C'}$将在另一个圆上，因此不共线。${\displaystyle (*)}$ 式里的等号也要改为大于等于号。这正是托勒密定理。[2]