定态

在量子力学里，定态（stationary state）是一种量子态，定态的几率密度与时间无关。以方程序表式，定态的几率密度对于时间的导数为

{\frac {d}{dt}}|\Psi (x,\,t)|^{2}=0

；

设想经典力学里的谐振子系统（A-B），一条弹簧的一端固定不动，另一端有一个带质量圆球；在量子力学里，（C-H）展示出同样系统的薛丁格方程序的六个波函数解。横轴坐标表示位置，竖轴坐标表示几率幅的实部（蓝色）或虚部（红色）。（C-F）是定态，（G、H）不是定态。定态的能量为驻波振动频率与约化普朗克常数的乘积。

描述谐振子的含时薛丁格方程序的三个波函数解。左边：波函数几率幅的实部（蓝色）或虚部（红色）。右边：找到粒子在某位置的几率，这说明了为甚么几率与时间无关的量子态被称为「定态」。上面两个横排是定态，最下面横排是叠加态

\psi _{N}=(\psi _{0}+\psi _{1})/{\sqrt {2}}

。

其中， $\Psi (x,\,t)$ 是定态的波函数， $x$ 是位置， $t$ 是时间。

设置一个量子系统的含时薛丁格方程序为

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi

；

其中， $\hbar$ 是约化普朗克常数， $m$ 是质量， $V(x)$ 是位势。

这个方程序有一个定态的波函数解：

\Psi (x,\,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }

；

其中， $\psi (x)$ 是 $\Psi (x,\,t)$ 的不含时间部分， $E$ 是能量。

将这定态波函数代入含时薛丁格方程序，则可除去时间关系：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi +V\psi =E\psi

。

这是一个不含时薛丁格方程序，可以用来求得本征能量 $E$ 与伴随的本征函数 $\psi _{E}(x)$ 。定态的能量都是明确的，是定态薛丁格方程序的本征能量 $E$ ，波函数 $\psi (x)$ 是定态薛丁格方程序的本征函数 $\psi _{E}(x)$ 。

几率密度与时间无关

虽然定态 $\Psi (x,\,t)$ 很明显的含时间。含时间部分是个相位因子。定态的几率密度不含有相位因子这项目：

|\Psi (x,\,t)|^{2}=|\psi (x)|^{2}

。

所以，定态的几率密度与时间无关。一个直接的后果就是期望值也都与时间无关。例如，位置的期望值 $\langle x\rangle$ 是

{\begin{aligned}\langle x\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\,x|\Psi (x,\,t)|^{2}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\,x|\psi (x)|^{2}\,dx\\\end{aligned}}

。

再举一例，动量的期望值 $\langle p\rangle$ 是

{\begin{aligned}\langle p\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,\,t){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,\,t)\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{iEt/\hbar }{\frac {\partial }{\partial x}}(\psi (x)e^{-iEt/\hbar })\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int _{-\infty }^{\infty }\,\psi ^{*}(x){\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\,dx\\\end{aligned}}

。

所以， $\langle x\rangle$ 和 $\langle p\rangle$ 都与时间无关。一般而言，给予任意一个位置与动量的函数 $f(x,\,p)$ ，期望值 $\langle f(x,\,p)\rangle$ 必然与时间无关。

参阅

纯态
混合态
基态
激发态
束缚态
真空态
相干态
简并态

参考文献

Griffiths, David J. . Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.

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