因次分析

早在十七世纪，艾萨克·牛顿就已经提出量纲分析的基本原理，现在知名为「牛顿相似性原理」[1][2]。在创建量纲分析的现代用法上，詹姆斯·麦克斯韦也扮演了重要的角色，他区分质量、长度、时间的计量单位为「基础单位」，又将其它单位分类为「衍生单位」[3]。十九世纪法国数学家约瑟夫·傅里叶也做出巨大贡献。他表明，类似牛顿第二定律${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$的物理定律，其方程序应该与计量物理量的单位无关[4]。这引致出重要结论：有意义的定律，对于其方程序的每一个计量单位，这方程序都必需是齐次方程序。这结果最终形式化成为白金汉π定理（）。假设一个有物理意义的方程序具有${\displaystyle n}$个变量与${\displaystyle m}$个基础量纲，白金汉π定理描述怎样将这方程序等价地重写为具有${\displaystyle n-m}$个无量纲参数的方程序。更重要的是，从设置的变量，这定理给出了一种能够计算这些无量纲参数的方法。

通过无量纲化（）技法，一个具有量纲的方程序可以降低或消除其量纲。这技法首先使用量纲分析，这技法使用系统的基础单位或大自然的自然单位来按比例改变物理量的数值。这技法可以使得物理学者更了解系统的基础性质。稍后，会有更详细说明。

力可以通过艾萨克·牛顿著名的公式

${\displaystyle F=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=m{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}$

做因次分析，[M]代表质量因次，[L]代表长度因次，[T]代表时间因次，则为：

${\displaystyle [F]=[M][L][T^{-2}]\,}$

相应地，力的国际单位牛顿（N）的定义是：

${\displaystyle N=kg\cdot {\frac {m}{s^{2}}}}$，即公斤（kg）·米（m）·秒（s）负二次方。

若力沿着一定路径作功：

${\displaystyle W=\int _{x_{0}}^{x_{1}}Fdx}$

可以看出因次上：

${\displaystyle [W]=[F][L]=[M][L^{2}][T^{-2}]\,}$

另外，非相对论（即古典力学里）动能的定义：

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}}$

其因次为：

${\displaystyle [E_{k}]=[M]([L][T^{-1}])^{2}=[M][L^{2}][T^{-2}]\,}$

因次和功相同。这也和功能定理相应。

通过因次分析可以对物理推导过程进行检验，确认前后是否一致无误。

此外，一些物理学上的演绎是通过因次分析而生的，例如普朗克长度、普朗克时间与普朗克质量。它们的出现最先是通过将普朗克常数、光速、重力常数三项常数组合出长度因次、时间因次、质量因次而衍生得到它们应该具有的数值。

• 因次

• 阿草的葫芦--文化活动中的数学（页面存档备份，存于）