力偶

最简单的力偶是由两个大小相同、方向相反、作用线相异的作用力组成，又称为“简单力偶”[1]。与作用力同线的直线称为这作用力的“作用线”。作用于物体，力偶会给与物体一种旋转效应或力偶矩。采用国际单位制，力偶的单位是牛顿${\displaystyle \cdot }$公尺。

假设施加于一物体的两个作用线相异的作用力分别为 ${\displaystyle \mathbf {F} \,}$ 、${\displaystyle -\mathbf {F} \,}$ ，则其力偶矩 ${\displaystyle \tau \,}$ 的大小，以方程序表达为

${\displaystyle \tau =Fd\,}$ ；

其中，${\displaystyle d\,}$ 是两个作用力之间的垂直距离。

力偶矩 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,}$ 的方向垂直于包含这力偶的平面。

假设，两个大小相等，方向相反的作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}$ 与 ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}$ ， 分别施加于一个物体的位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$ 与 ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$ ，则合力等于零：

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,}$ ，

而所产生的力矩 ${\displaystyle \mathbf {M} \,}$ 以方程序表达为

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{12}\times \mathbf {F} _{1}\,}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\,}$ 是两个位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$ 与 ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$ 之间的相对位置。

特别注意，由于 ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,}$ 是相对位置，不随参考点的改变而改变，从物体上任何参考点观测的力偶矩 ${\displaystyle \mathbf {M} \,}$ 都相等。因此，力偶矩是个自由矢量，作用于物体的任何一点，效果都一样。

在计算作用力的力矩时，必须先选择某参考点P，然后才能计算作用力对于参考点P的力矩。通常，若参考点P的位置改变，力矩也会改变。但是，力偶的力偶矩独立于参考点P，对于任意参考点，力偶矩都相同。换句话说，力偶矩是一个自由矢量。这理论称为伐里农第二力矩定理（）[3]。

证明：

假设分别施加于位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$ 的作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}$ 、${\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}$ ，共同形成一个力偶，则这两个作用力的合力为

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,}$ ，

这两个作用力对于原点O的力矩 ${\displaystyle \mathbf {M} _{O}\,}$ 为

${\displaystyle \mathbf {M} _{O}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,}$ 。

设置参考点P的位置为 ${\displaystyle \mathbf {r} \,}$ 。作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}$ 、${\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}$ 对于点P的力矩 ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}\,}$ 为

${\displaystyle \mathbf {M} _{P}=(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}-\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2})=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,}$ 。

所以，力偶矩与参考点无关：

${\displaystyle \mathbf {M} _{P}=\mathbf {M} _{O}\,}$ 。

在机械工程学里，力偶是个很有用的概念。以下列出几个实例：

• 当用手扭转螺丝起子时，螺丝起子会感受到力偶。
• 当用螺丝起子扭转螺丝钉时，螺丝钉会感受到力偶。
• 一个在水里旋转的螺旋桨推进器，会感受到由水阻力产生的力偶。
• 在一个均匀电场里，电偶极子会感受到电场的力偶。
• 航天器上的反应控制系统。
• 手在方向盘上施加的力。