一矩陣

所有的${\displaystyle n\times n}$的全一方陣（為方陣的全一矩陣）${\displaystyle J_{n}}$有以下性質：

• ${\displaystyle J_{n}}$的跡為${\displaystyle n}$[5]
• 若${\displaystyle n\geq 2}$，${\displaystyle J_{n}}$的行列式為${\displaystyle \det J_{n}=0}$。對於小於2的情況，行列式為1，即${\displaystyle \det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$。（若也將${\displaystyle n=0}$考慮進來，則若將空矩陣也視為一種全一矩陣，則其行列式也為1[6]）
• 全一矩陣${\displaystyle J_{n}}$的特徵多項式為${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$
• 全一矩陣${\displaystyle J_{n}}$的極小多項式為${\displaystyle (x-n)x}$
• 全一矩陣${\displaystyle J_{n}}$的秩為1、特徵值為${\displaystyle n}$（代數重数為1）和0（代數重数為${\displaystyle n-1}$）[7]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$，其中${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$[8]
• 全一矩陣${\displaystyle J}$是阿達瑪乘積的單位元[9]

當全一矩陣${\displaystyle J}$在實矩陣運算時，以下附加性質成立：

• 全一矩陣${\displaystyle J}$為半正定矩阵
• ${\displaystyle {\frac {1}{n}}J_{n}}$為幂等矩阵[8]
• 全一矩陣${\displaystyle J}$的矩阵指数為${\displaystyle \exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}}$

全一矩陣可以應用於數學領域中的組合學，特別是在涉及代數方法的圖論中。舉例來說，如果${\displaystyle A}$是${\displaystyle n}$個頂點無向圖${\displaystyle G}$的鄰接矩陣，且${\displaystyle J}$是與${\displaystyle A}$相同維度的全一矩陣，則若${\displaystyle AJ=JA}$時，${\displaystyle G}$為正則圖，反之亦然。[10]

• 零矩陣
• 矩陣單元