一矩阵

所有的${\displaystyle n\times n}$的全一方阵（为方阵的全一矩阵）${\displaystyle J_{n}}$有以下性质：

• ${\displaystyle J_{n}}$的迹为${\displaystyle n}$[5]
• 若${\displaystyle n\geq 2}$，${\displaystyle J_{n}}$的行列式为${\displaystyle \det J_{n}=0}$。对于小于2的情况，行列式为1，即${\displaystyle \det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$。（若也将${\displaystyle n=0}$考虑进来，则若将空矩阵也视为一种全一矩阵，则其行列式也为1[6]）
• 全一矩阵${\displaystyle J_{n}}$的特征多项式为${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$
• 全一矩阵${\displaystyle J_{n}}$的极小多项式为${\displaystyle (x-n)x}$
• 全一矩阵${\displaystyle J_{n}}$的秩为1、特征值为${\displaystyle n}$（代数重数为1）和0（代数重数为${\displaystyle n-1}$）[7]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$，其中${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$[8]
• 全一矩阵${\displaystyle J}$是阿达玛乘积的单比特[9]

当全一矩阵${\displaystyle J}$在实矩阵运算时，以下附加性质成立：

• 全一矩阵${\displaystyle J}$为半正定矩阵
• ${\displaystyle {\frac {1}{n}}J_{n}}$为幂等矩阵[8]
• 全一矩阵${\displaystyle J}$的矩阵指数为${\displaystyle \exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}}$

全一矩阵可以应用于数学领域中的组合学，特别是在涉及代数方法的图论中。举例来说，如果${\displaystyle A}$是${\displaystyle n}$个顶点无向图${\displaystyle G}$的邻接矩阵，且${\displaystyle J}$是与${\displaystyle A}$相同维度的全一矩阵，则若${\displaystyle AJ=JA}$时，${\displaystyle G}$为正则图，反之亦然。[10]

• 零矩阵
• 矩阵单元